[arithmétique] trop d'études de cas...

[invite4e9186a9]

Bonjour, j'ai un exercice de spé maths à vous soumettre en fait j'ai réussi à le résoudre mais il ya trop d'études de cas je me demandais s'il y avait des moyens pour aller plus rapidement

La décomposition d'un nombre entier n en produit de nombres premiers est (a^alpha)*(b^beta)*(c^gamma)

possède dix huit diviseurs de plus que n, a huit diviseurs de plus que n et a douze diviseurs de plus que n.
Determinez; et

Posons le nombre de diviseurs de n, le nombre de diviseurs de et le nombre de diviseurs de bn et et celui de cn.

on a





et

ensuite faut résoudre un système à 3 inconnues et après diverses simplifications j'obtiens le système suivant à trois équations


et

et

et c'est là où tout se corse parce que je me retrouve entrain de faire beaucoup d'études de cas avec de nouveaux mini-systèmes.
Voilà auriez vous une autre méthode plus rapide?
Cordialement
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[inviteec581d0f]

Je pense que j'ai trouvé mais ne m'en veux pas si j'ai faux :P



donc



donc



donc



donc



donc



donc



donc



donc




donc




désolé si je me suis trompé, XD 1 n'est pas premier

[invitebb921944]

Et gamma = -3 il passe à la trappe ?

[inviteec581d0f]

Effectivement, lol je n'avais pas vu celui là passer...
Mais

La décomposition d'un nombre entier n en produit de nombres premiers

un nombre puissance -3 risque-t-il de devenir premier???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e9186a9]

héhé c'est déjà ça d'avoir tenté, non on travaille dans N et ceux pour toutes les variables

[inviteec581d0f]

aaa je m'excuse alors XD mais sinon la solution, on l'obtient de quelle façon? qu'est ce que j'ai loupé?

[invite35452583]

et

et

Posons

x=2z, 2z²=8 d'où z=2 et donc x=4, y=3.
finalement :
Vous êtes sur que vous n'avez pas cherché à compliquer ?

[inviteec581d0f]

ouiiiiiiiiiiiiiiiii voilà c'est ce que j'ai trouvé merci homotopie j'ai copié ta méthode mercii

[invite4e9186a9]

Ah merci effectivement, moi voyant ce système je me suis arrêtée cryant qu'il fallait faire des études de cas avec les diviseurs; qu'est ce qu'on se sent bête des fois...

[invite14e03d2a]

Une autre méthode: avec les notations de homotopie, on a que z divise 6 et 8 donc z=2. Et le reste suit.

[invite35452583]

Une autre méthode: avec les notations de homotopie, on a que z divise 6 et 8 donc z=2. Et le reste suit.

En toute rigueur donc z divise 2 (si on est chez les entiers) et commence une étude de cas.
Ce genre de systèmes où il n'y a que des produits se résoud sans arithmétique, l'arithmétique aurait un vrai rôle à jouer si il y avait une ou des équations de moins que d'inconnues.

[invite14e03d2a]

En toute rigueur donc z divise 2 (si on est chez les entiers) et commence une étude de cas.

Merci de la précision. Là, ça ne change pas grand chose (le cas z=1 est immédiat) mais c'est le genre de bourdes que j'ai tendance à faire.