Enigme

[invite693d963c]

Bonjour,

J'ai une petite enigme à vous proposer, j'espere que vous trouverez la solution

C'est une enigme arithmétique :

Trouver un nombre => Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 4 et on obtient 3 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 6 et on obtient 5 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 7 et on obtient 0 pour le reste de la division.
Bien sur, on peux remarquer que le nombre est un multiple parfait de 7 et que pour indice je peux vous donner "Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines (à ne pas confondre avec chiffre des dizaines) par le double du chiffre des unités est divisible par 7."

Voila, Bon courage
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[invitec053041c]

Bonjour.

Bonjour,
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.

Alors il n'est pas divisible par 3.
C'est un problème de restes chinois si je ne m'abuse .

[invite693d963c]

la remarque de Ledescat
Au lieu de dire : Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.
On va changer : Si on divise ce nombre par 3 on trouve 2 pour le reste.
Ps : Voc à savoir ( on c'est jamais ) => Diviseur, dividende, reste, qutient

[invité576543]

Oui, par les restes chinois c'est quasi-immédiat:

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Faut pas regarder, faut chercher...

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Non, non... Il faut chercher!

 Cliquez pour afficher

"on obtient 3 pour le reste de la division par 4"
"on obtient 5 pour le reste de la division par 6"

Ces deux-là suffisent, en remarquant que c'est -1 dans les deux cas, pour avoir le reste par 12, qui ne peut être que -1, ou 11.

Ensuite 12n+11, ca vaut 5n+4 modulo 7, 5n+4=0 implique n = -4/5 = 4/2 = 2

d'où 35

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bon alors je trouve ( par restes chinois )

 Cliquez pour afficher

, par exemple pour k=1 n=8099

EDIT: grillé par mmy , mon cas est général, il suffisait d'en trouver un seul c'est vrai .Pour k=-15 on retrouve sa solution...

[invite693d963c]

Peux tu m'expliquer la méthode des restes chinois

Il existe surement d'autres solutions ? je voudrais en trouver une comprises entre 100 et 400

[invitec053041c]

Peux tu m'expliquer la méthode des restes chinois

Connais-tu la résolution d'équation diophantiennes ? (du type ax+by=c avec a,b,c,x,y entiers)


EDIT :

je voudrais en trouver une comprises entre 100 et 400

Si ma résolution n'est pas trop mauvaise , mes solutions avec k entier sont les seules. Pour k=-14 n=539 et pour k=-15 n=35
Donc rien entre 100 et 400.

[invite693d963c]

Je suis à un niveau de 2nd (Mort de Rire)

Connais-tu la résolution d'équation diophantiennes ? (du type ax+by=c avec a,b,c,x,y entiers)

C'est quoi ce charabia

[invitec053041c]

C'est quoi ce charabia

Tu verras cela en TS si tu prends la spécialité maths .

Au passage mmy, je ne comprends pas cela:

 Cliquez pour afficher

5n+4=0 implique n = -4/5 = 4/2 = 2

Cordialement.

[invite693d963c]

Connais-tu la résolution d'équation diophantiennes ? (du type ax+by=c avec a,b,c,x,y entiers)


EDIT :
Si ma résolution n'est pas trop mauvaise , mes solutions avec k entier sont les seules. Pour k=-14 n=539 et pour k=-15 n=35
Donc rien entre 100 et 400.

n= 35 je crois que ta du bugger 35 /5 = 7 et reste 0 donc c'est pas bon

[invite693d963c]

Tu verras cela en TS si tu prends la spécialité maths .

Au passage mmy, je ne comprends pas cela:

 Cliquez pour afficher

5n+4=0 implique n = -4/5 = 4/2 = 2

Cordialement.

Ta pas une méthode plus simple donc plus longue à faire ?

[invitec053041c]

n= 35 je crois que ta du bugger 35 /5 = 7 et reste 0 donc c'est pas bon

Tu n'as pas imposé la condition: n non divisible par 5.
Tu confonds reste et diviseur . (lorsqu'on divise par 6 on a un reste de 5, et pas le contraire).

Ta pas une méthode plus simple donc plus longue à faire ?

Pas à ma connaissance.

[invite693d963c]

Tu n'as pas imposé la condition: n non divisible par 5.
Tu confonds reste et diviseur . (lorsqu'on divise par 6 on a un reste de 5, et pas le contraire).


Pas à ma connaissance.

C'est vrai mais en faite je crois que faut que je la mette :

539/2 = 269 reste 1
539/3 = 179 reste 2
539/4 = 134 reste 3
539/5 = 107 reste 4
539/6 = 85 reste 5
539/7 = 77 reste 0 Ca c'est bon mais bon si je met la condition avec le 5 je dois enlever 35.
Est ce le seul nombre qui existe sur terre qui verifie ces conditions ?

[invitec053041c]

Est ce le seul nombre qui existe sur terre qui verifie ces conditions ?

Quel nombre qui vérifie quelles conditions ?

[invite693d963c]

Trouver un nombre =>
Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 4 et on obtient 3 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 5 et on obtient 4 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 6 et on obtient 5 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 7 et on obtient 0 pour le reste de la division.

[inviteba9bce0d]

Connais-tu la résolution d'équation diophantiennes ? (du type ax+by=c avec a,b,c,x,y entiers)

En quoi çà consiste ces résolution?

Parce-que en premiére on ne fait juste que retrouver une équation du type ax+by=c, en ayant par exemple pour données: les coordonnées du vecteur normale, et un point A par ou il passe.

Mais les équation diophantiennes c'est quoi au juste?

[invitec053041c]

Au fait !
Je n'avais pas vu ta première condition "Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division. " ce qui veut dire que n est impair.
Mais ça ne change rien.

Ce nombre est divisible par 5 et on obtient 4 pour le reste de la division

Si tu rajoutes des conditions sans arrêt on n'en finira pas .
Et il n'y a pas qu'un seul nombre qui vérifie ça.

[invitec053041c]

Trouver un nombre =>
Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 4 et on obtient 3 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 5 et on obtient 4 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 6 et on obtient 5 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 7 et on obtient 0 pour le reste de la division.

Alors après un petit calcul, il y a une infinité de nombres vérifiant cela.
Ils sont de la forme n=2520k+8099
soit pour k=1,2,3,4,5 n=10619,13139,15659,18179, 20699 etc...

En quoi çà consiste ces résolution?

On résoud ces équations pour (x,y) appartenant à IZ². On cherche en fait les points de coordonnées entières par où la droite ax+by=c passe .

[invité576543]

Au passage mmy, je ne comprends pas cela:
5n+4=0 implique n = -4/5 = 4/2 = 2

C'est de l'arithmétique modulo 7! (C'est indiqué avant). Modulo 7, 5=-2, on peut donc écrire -4/5 = (-4)/(-2) = 4/2 = 2.

On peut faire de l'arithmétique modulo un nombre premier presque naturellement!

En classe, les profs n'apprécieront pas, il faut remplacer tous les "=" par un signe disant "= modulo 7", mais ce n'est qu'un problème d'écriture.

Cordialement,

[inviteba9bce0d]

Ha ok.
Bon je verais çà cette année, psk là j'ai pas envie de m'y mettre.

Ps: Désolé pour le HS

[inviteba9bce0d]

On résoud ces équations pour (x,y) appartenant à IZ². On cherche en fait les points de coordonnées entières par où la droite ax+by=c passe .

Ha ok.
Bon je verais çà cette année, psk là j'ai pas envie de m'y mettre.

Ps: Désolé pour le HS

Edit: :S désolé aussi pour le double poste j'ai pas fait expré. ^^

[invité576543]

Alors après un petit calcul, il y a une infinité de nombres vérifiant cela.
Ils sont de la forme n=2520k+8099
soit pour k=1,2,3,4,5 n=10619,13139,15659,18179, 20699 etc...

7x3x5x4 = 420, c'est 420, pas 2520

on va trouver qq chose comme 420n+k, avec k plus petit que 420

Si ton 8099 est correct, k=119

Cordialement,

[invitec053041c]

7x3x5x4 = 420, c'est 420, pas 2520

on va trouver qq chose comme 420n+k, avec k plus petit que 420

Si ton 8099 est correct, k=119

Cordialement,

Euh là je ne sais plus. J'ai peut-être pris trop large, toujours est-il que les 2520k+8099 fonctionnent...
En tout cas ya des conditions modulo 2,3,4,5,6,7 donc il devrait y avoir du 7! non ?

Sinon, je n'avais pas vu ta mention modulo 7, au temps pour moi .

[invité576543]

les 2520k+8099 fonctionnent...

420k+119 fonctionnent aussi, et contient ton ensemble.

Au passage on peut le trouver par la même méthode donnée au début. Comme la valeur vaut -1 modulo une liste de nombres, elle vaut -1 modulo le ppcm de ces nombres, soit ici 60. C'est donc de la forme 60k+59. Modulo 7 ça donne 4k+3=0, soit à vue k=1 (ou k = (-3)/4 = 4/4 = 1) et on trouve 119. Et 420 c'est 60x7, ajouter 420 ajoute 0 à tous les modulo, donc donne une autre solution. D'où le résultat.

Cordialement,

[invite8dceeeb1]

J'ai essayé un système d'équations. Evidemment ça ne marche pas mais quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi ?

En partant de :
Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.

Me suis dit : cool tu vas pouvoir trouver en deux lignes( ) puisque :

| x/2 = y+1
| x/3 = y+2

Ce qui donne :

| x/2 -y -1 = 0
| x/3 -y -2 = 0

On arrive à (méthode par substitution) :

x = -2

Ce qui est faux, mais je ne saisis pas pourquoi.
Ca aurait du marcher non ?

[invitec053041c]

Tu t'es embrouillé tout simplement car:

Ce nombre est divisible par 2 et on obtient 1 pour le reste de la division.
Ce nombre est divisible par 3 et on obtient 2 pour le reste de la division.[/I]

N'a strictement aucun sens.

Il fallait comprendre:
-le reste de la division de ce nombre par 2 est 1, autrement dit, il existe k entier tel que n=2k+1
-le reste de la division de ce nombre par 3 est 2, autrement dit, il exste k' entier tel que n=3k'+2

Cordialement.

[invite8dceeeb1]

Ah ! ok... lol

C'est bien plus compliqué comme ça !
Merci Ledescat.

[invitec053041c]

Au passage, mmy je ne sais pas ce que j'ai trafiqué pour arriver à autre chose que ce que tu me donnes .
Je revois mes calculs.

[invitec053041c]

Oui je sais pas, c'est sûrement dû au fait que je voyais de nouvelles conditions arriver à chaque instant .
Par étape j'obtiens donc :
n=-1[6],n=-1[12],n=-1[60] et finalement n=119[420] .