TS spécilité maths, arythmétie : problème
Voici un exercice que je n'arrive pas à faire étant donné que les démonstrations ne sont pas mon fort.
Démontrer que si p est impair, la somme de p nombres entiers consécutifs est un multiple de p.
J'ai commencé par vérifier que c'était vrai avec plusieurs exemples :
si p = 3 , 112+113+114= 339
et 339/3 = 113
maintenant, comment le démontrer de manière générale?
Bonjour.
Déjà que vaut Sn=1+2+3+...+n en fonction de n ? (suite arithmétique)
Eventuellement, si on prend toujours p=3, on peut définir les entiers consécutifs par x,x+1 et x+2
et x + x+1 + x+2 = 3x+3, ce que nous pouvons diviser par p: on obtient x+1
Mais je ne voit comment me servir de ça, ni même en quoi cela démontre le problème de manière générale...
je vais réfléchir à la suite... je reviens plus tard!!
Cela vaut n(n+1) /2 il me semble?
C'est exact.Envoyé par licea
Donc supposes que tu commences ta somme à n donné, et que tu la finis à (n+p) [c'est ce qu'on te demande].
Que vaut (n+1)+(n+2)+...+(n+p) ? (si tu comptes il y a bien p termes)
(pense à exprimer Sn et SP par exemple).
(n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n(1+2+...+p)
= n(Sp)
Sp = 1+2+...+p = p(p+1) /2
donc (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n [ p(p+1)/2 ]
Mais je n'ai pas saisi la différence entre Sn et Sp
Je voulais dire Sn et S(n+p).
Je viens de trouver plus immédiat:
Dans S=(n+1)+(n+2)+...+(n+p), il y a p fois le nombre n, et il y a la somme 1+2+...+p que tu sais calculer.
Ca te permettra de calculer S très rapidement.
S =(n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n [ p(p+1)/2 ]
non?
je suis un peu perdue là...
je voulais aussi préciser que ce problème est posé en rapport avec un cours sur la divisiblité... Est-il nécessaire de le mettre en relation avec les suites?
(n+1)+(n+2)+...+(n+p) = pn + p(p + 1)/2 = p(2n + p + 1)/2
Or p est impair par définition, i.e., p = 2k + 1 avec k € Z, d'où :
p(2n + p + 1)/2 = (2k + 1)(2n + 2k + 2)/2 = (2k + 1)(n + k + 1) qui est bien un multiple de p.
Il y a une chose qui m'échappe : que signifie i.e. ?
i.e = càd = c'est-à dire, en gros.
ah d'accord! je ne connaissais pas comme ça... Eh bien, je vais tâcher de reprendre tout ça! Merci beaucoup.
