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TS spécilité maths, arythmétie : problème



  1. #1
    licea

    Unhappy TS spécilité maths, arythmétie : problème


    ------

    Voici un exercice que je n'arrive pas à faire étant donné que les démonstrations ne sont pas mon fort.

    Démontrer que si p est impair, la somme de p nombres entiers consécutifs est un multiple de p.

    J'ai commencé par vérifier que c'était vrai avec plusieurs exemples :
    si p = 3 , 112+113+114= 339
    et 339/3 = 113

    maintenant, comment le démontrer de manière générale?

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Bonjour.

    Déjà que vaut Sn=1+2+3+...+n en fonction de n ? (suite arithmétique)
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Eventuellement, si on prend toujours p=3, on peut définir les entiers consécutifs par x,x+1 et x+2
    et x + x+1 + x+2 = 3x+3, ce que nous pouvons diviser par p: on obtient x+1

    Mais je ne voit comment me servir de ça, ni même en quoi cela démontre le problème de manière générale...

  5. #4
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    je vais réfléchir à la suite... je reviens plus tard!!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Cela vaut n(n+1) /2 il me semble?

  8. #6
    Ledescat

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Citation Envoyé par licea Voir le message
    Cela vaut n(n+1) /2 il me semble?
    C'est exact.
    Donc supposes que tu commences ta somme à n donné, et que tu la finis à (n+p) [c'est ce qu'on te demande].

    Que vaut (n+1)+(n+2)+...+(n+p) ? (si tu comptes il y a bien p termes)

    (pense à exprimer Sn et SP par exemple).
    Dernière modification par Ledescat ; 09/09/2007 à 15h31.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n(1+2+...+p)
    = n(Sp)
    Sp = 1+2+...+p = p(p+1) /2
    donc (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n [ p(p+1)/2 ]

    Mais je n'ai pas saisi la différence entre Sn et Sp

  11. #8
    Ledescat

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Citation Envoyé par licea Voir le message
    (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n(1+2+...+p)
    = n(Sp)
    Sp = 1+2+...+p = p(p+1) /2
    donc (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n [ p(p+1)/2 ]

    Mais je n'ai pas saisi la différence entre Sn et Sp
    Je voulais dire Sn et S(n+p) .

    Je viens de trouver plus immédiat:

    Dans S=(n+1)+(n+2)+...+(n+p), il y a p fois le nombre n, et il y a la somme 1+2+...+p que tu sais calculer.

    Ca te permettra de calculer S très rapidement.
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    S =(n+1)+(n+2)+...+(n+p) = n [ p(p+1)/2 ]

    non?

    je suis un peu perdue là...

  13. #10
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    je voulais aussi préciser que ce problème est posé en rapport avec un cours sur la divisiblité... Est-il nécessaire de le mettre en relation avec les suites?

  14. #11
    Guillaume.B

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    (n+1)+(n+2)+...+(n+p) = pn + p(p + 1)/2 = p(2n + p + 1)/2

    Or p est impair par définition, i.e., p = 2k + 1 avec k € Z, d'où :

    p(2n + p + 1)/2 = (2k + 1)(2n + 2k + 2)/2 = (2k + 1)(n + k + 1) qui est bien un multiple de p.

  15. #12
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    Il y a une chose qui m'échappe : que signifie i.e. ?

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  17. #13
    Guillaume.B

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    i.e = càd = c'est-à dire, en gros.

  18. #14
    licea

    Re : TS spécilité maths, arythmétie : problème

    ah d'accord! je ne connaissais pas comme ça... Eh bien, je vais tâcher de reprendre tout ça! Merci beaucoup.

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