[1èreS] Polynômes et unicité

[invitefaca161b]

svp j'ai un énoncé et je n'arrive pas a le résoudre pouvez-vous m'aidez ?

déterminer a,b et c tels que :

a(x+2)²+b(x+3)²=cx+10

merci !
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[Gwyddon]

Hello,

J'ai modifié ton titre afin qu'il soit plus clair, penses-y la prochaine fois

Connais-tu le théorème du polynôme nul ? En gros, il dit que le polynôme nul est unique. Donc cela permet de dire qu'il existe une unique écriture d'un polynôme donné sous la forme a₀ + a₁ x + a₂ x² + ... + a_n+1 xⁿ


En effet, si tu as deux écritures avec des coefficients a priori différents, en passant tout du même côté de l'égalité, tu as :



donc par le théorème du polynôme nul, cela signifie que chaque coefficient est nul, et donc que a₁ = b₁, a₂ = b₂, etc...

Sers-toi de ça ici

[invitefaca161b]

merci ! beaucoup

[Gwyddon]

Pas de quoi

N'hésite pas à poster ici ta réponse, pour que l'on puisse vérifier ensemble

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefaca161b]

le problème est que je n'arrive pas a l'appliquer !

[Gwyddon]

Développe les deux carrés (identité remarquable), et écris ce que ça donne pour le membre de gauche de l'égalité.

[invitefaca161b]

ax²+4ax+4a+bx²+6bx+9b=cx+10 voilà

[Gwyddon]

Bien

Maintenant, mets tout du même côté de l'égalité, puis regroupe par degré : les constantes ensemble, puis les terme qui multiplie x, puis les termes qui multiplies x², etc..

[invitefaca161b]

ax²+bx²+4ax+6bx+4a+9b-cx-10=0

[Gwyddon]

Héhé, je t'ai dit de regrouper, tu n'as pas tout regroupé

Une fois que tu auras fait ça, réfléchis à mon premier message

[invitefaca161b]

je ne comprend pas

[invite951d3e73]

Factorises par X² et par X

[Gwyddon]

As-tu bien compris mon premier message ?

[invitefaca161b]

x²(a+b)+x(4a+6b-c)+4a+9b-10=0

[invitefaca161b]

nn je ne l'est pas bien compris

[Gwyddon]

Ok, alors on reprend.

Le théorème du polynôme nul stipule que le polynôme nul a une écriture unique : P(X) = 0.

Donc cela signifie que si un polynôme P s'écrit P(X) = a₁ + a₂ X + a₃ X² + ... + a_n+1 Xⁿ, et si ce polynôme P est le polynôme nul, alors nécessairement on aura a₁ = a₂ = ... = a_n+1 = 0

Si tu l'appliques ici, ça donne quoi ?

[invitefaca161b]

4a+4ax+ax²+9b+6bx+bx²-cx-10=0 je ne suis pas sure de ce que j'écris

[Gwyddon]

Mais tu n'as toujours pas appliqué le théorème dont je te parle...

Applique le !

[invite951d3e73]

4a+4ax+ax²+9b+6bx+bx²-cx-10=0 je ne suis pas sure de ce que j'écris

T'étais pas très loin en effet, il te suffit désormais de factoriser par X² , X et de regrouper le reste ça te donne :



Et c'est là que le théorème que Gwydon t'as donné va te servir, car tu arrives sur une forme d'un polynome du type où



Relis le théorème vers les premiers messages, après ca vient tout seul.

Cordialement.

[invite951d3e73]

Bon ne voyant pas revenir l'auteur du post je décide de terminer le problème :

on arrive donc à un polynome avec a,b,c indiqué juste au dessus. Si je comprends bien le théorème du polynome nul, alors tous les coefficients de ce polynome sont nuls on a donc un systeme qui apparait ( je ne sais pas faire les système en latex, donc il n'y aura pas les accolades ) :





On fait (2)-(1) :


On avait : donc a = -b donc

Pour trouver c on intègre les valeur de a et b dans (3)



On a donc