Tangente à une courbe

[invite951d3e73]

Bonsoir, dans l'introduction à un cours de sur les dérivées, une définition de la tangente à une courbe est ainsi faite, et je voulais savoir si cela était exact :

Soit Cf la courbe réprésentative de la fonction f, les points et appartenant à Cf

La tangente à Cf en est la droite "limite" formée par les points A et M lorsque x tend vers x0.

C'est correct ? ( car la définition du nombre dérivé f' de f en x0 est ensuite basé sur cela ).

Je vous remercie.
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[invite951d3e73]

Ou plutot que quand x tends vers x0, la droite AM tend à jamais vers la tangente de Cf en x0 ?

[invite8241b23e]

Salut !

Oui, ça m'a l'air d'une bonne définition !

[invite951d3e73]

Si on veut démontrer cette définition ? Comment doit on procéder ? Montrer que quand x tend vers x0 l'angle A tend vers 0° ?

Enfin c'est une supposition, comment pourrait-on faire ?
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Si on veut démontrer cette définition ?

On ne démontre pas les définitions en mathématiques. Par exemple définissons une courbe convexe comme une droite passant par deux points distincts de la courbe (ça s'appellle une corde) ne coupent cette courbe qu'en ces deux points. Il n'y a là rien à démontrer. Ce que l'on peut montrer c'est qu'il existe de telles courbes (cercles, ellipses, paraboles... en sont des exemples, la courbe représentative de x->x^3 est un contre-exemple en effet la droite passant les points de cette courbe M : (-1;-1) et N1;1) coupent la courbe aussi en l'origine O : (0,0) qui est aussi sur cette courbe)
Maintenant, il arrive régulièrement que l'on ait à démontrer la compatibilité de plusieurs définitions. C'est le cas ici, une tangente à un cercle en un point M par exemple se définit comme la droite orthogonale passant par M au rayon OM (O étant le centre du cercle). Il n'est pas question de limite de corde ici. Elle peut aussi être définie comme l'unique droite passant par M qui coupe le cercle en l'unique point M. Pour cet exemple, montrer que les deux définitions géométriques que je viens d'évoquer sont équivalentes (elles définissent toujours la même droite). Puis montrer que la définition par la notion de droite limite retombe bien sur cette droite elle aussi.
Tu peux aussi te convaincre (la démonstration est plus délicate par contre) que la définition "unique droite qui coupe la courbe en un seul point" définit la même droite que la définition "droite limite" pour les ellipses, paraboles...
En faisant cela tu devrais te convaincre que cette notion de tangente correspond à la définition intuitive "droite qui colle au plus près la courbe".

Maintenant, ce que tu peux aussi montrer que cette définition de la tangente va impliquer la définition du nombre dérivé f'(x0) de f en x0. Pour cela, à remarquer que tes droites passent outes par le même point, la détermination de cette droite limite (quand elle existe) ne dépend plus que de la pente de celle-ci. Calcule cette pente et montre que la limite de cette pente est bien le nombre dérivé (normalement c'est la définition que tu as du recevoir en cours), avec une difficulté si la droite limite est verticale (c'est le cas pour en x0=0) n'a pas un nombre dérivé car infini n'est pas un nombre.