Exercice Barycentre

[invitecd8db149]

Bonjour tout le monde!

Jaurais besoin d'un petit coup de main sur un exercice sur les barycentres

Exercice:

On considère 3 points non alignés A,B et C du plan et un point M quelconque dans le plan.

a)Démontrer que le vecteur W = Ma(vecteur) + 2MB(vecteur) - 3MC(vecteur) est indépendant du point M.

b)En déduire l'égalité 2AB(vecteur) - 3AC(vecteur) = CA(vecteur) + 2CB(vecteur).

c)En considérant le barycentre J des points pondérés (A,1) et (B,2), démontrer que W(vecteur) = 3CJ(vecteur).

d)Déterminer et construire l'ensemble % des points M du plan tels que || MA(vecteur) + MB(vecteur)|| = || MA(vecteur) + 2MB(vecteur) - 3MC(vecteur) ||

e)Soit K le barycentre de (B,2) et (C,-3). Démontrer que les droites (CJ) et (AK) sont parallèles.


Voici maintenant mes réponses :

a)On 1 + 2 - 3 = 0 donc MA(vecteur) + 2MB(vecteur) - 3MC(vecteur) = MC(vecteur) + CA(vecteur) + 2MC(vecteur) + 2CB(vecteur) - 3MC(vecteur) = CA(vecteur) + 2CB(vecteur)
Le vecteur W est donc indépendant de M

b)CA(vecteur) + 2CB(vecteur) = CA(vecteur) + 2CA(vecteur) + 2AB(vecteur) = 3CA(vecteur) + 2AB(vecteur) = -3AC(vecteur) + 2AB(vecteur)

c)J barycentre de (A,1) et (B,2) donc JA(vecteur) + 2JB(vecteur) = 0(vecteur) <=> JC(vecteur) + CA(vecteur) + 2JC(vecteur) + 2CB(vecteur) = 0(vecteur) <=> CA(vecteur) +2CB(vecteur) = 3CJ(vecteur) donc W(vecteur) = CA(vecteur) + 2CB(vecteur) = 3CJ(vecteur)

d) (Question que je n'ai pas réussi à résoudre)

e) (Elle non plus)

Voilà, si pouviez me guider à l'aide de mes réponses précédemment trouvées pour résoudre le d) et le e), cela serait super sympa de votre part.

Merci
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[invite6ed3677d]

Bonjour,

Pour faire vite, on va exceptionnellement laisser tomber les flèches des vecteurs (t'es d'accord ? ... en tout cas je les mettrai pas ! Mais sur le papier, il les faut, c'est pas négociable !)

a) b) et c) : OK bravo. Il faudrait juste préciser que tu utilises la relation de Chasles et ce serait parfait.

d) A droite, on a la norme de W. On sait que ca ne dépend pas du point M donc, c'est une constante. On cherche donc l'ensemble des points M tels que la norme du vecteur MA + MB soit égale à cette constante (||W||).
Ca te met sur la voie ?

[invitecd8db149]

En effet, ça fait même plus que me mettre sur la voie, ça confirme mon raisonnement que je n'avais osé marqué pour cette question (d).

Voici mon raisonnement(je vais aussi laisser tomber les fleches des vecteurs) :

Soit J barycentre de {(A,1);(B,2)}. D'après la relation fondamentale, on a MA + 2MB = 3MJ.
||MA + 2MB|| = ||MA + 2MB -3MC|| <=> ||MJ|| = ||-3AC + 2AB||
(Maintenant on parle en longueur) 3MJ = 3CA +2AB <=> MJ = CA + 2/3(AB)

Cependant ce résultat ne me dit pas grand chose donc si tu pouvais m'éclairer sur celui ci, cela m'aiderait beaucoup!
De plus je n'ai toujours pas trouvé de piste pour le e)

Merci d'avance!

[invite6ed3677d]

Ah ... dans l'énoncé tu as écris ||MA + MB|| et là, tu parles de ||MA + 2MB|| ... Je prends lequel ?????

Quand tu passe en terme de longueurs ... tu ne peux pas écrire que
||-3AC + 2AB|| est équivalent à 3CA +2AB

La norme d'une somme de vecteur n'est PAS egale à la somme des normes de ces vecteurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecd8db149]

En effet, je me suis trompé dans l'énoncé, il faut prendre ||MA + 2MB||
Désolé

[invitecd8db149]

Je vois ce que tu veux dire pour la somme des vecteurs, mais je n'ai pas trouvé d'autre solution pour l'instant ^^
Merci de ton aide

[invite6ed3677d]

Bon, j'ai été un peu lent à la détente ... désolé.

Tu as eu le bon réflexe : passer par J le barycentre de (A,1) (B,2)
donc tu obtiens
||3 MJ|| = ||W||

||W|| c'est connu (puisqu'indépendant de M)
et ||3 MJ|| = 3 ||MJ||

Donc, ||MJ|| = ||W|| / 3
L'ensemble des point M est donc ... ?

[invitecd8db149]

la seule valeur que je connais pour le vecteur W est bien CA + 2CB, non?
Sinon je ne vois pas quelle serait cette valeur ou alors peut être n'en ai je pas besoin tout simplement?

[invite6ed3677d]

la seule valeur que je connais pour le vecteur W est bien CA + 2CB, non?

oui.
Donc l'ensemble des points M est ... ?

[invitecd8db149]

oui.
Donc l'ensemble des points M est ... ?

Et bien, je n'ai pas vraiment vu cette notion mais malheureusement elle se trouve dans mon exercice ^^

Donc dans ma logique l'ensemble des points M serait tels que MJ = 1/3CA + 2/3CB mais tout à l'heure tu m'as dit quelque chose sur les sommes vectorielles donc il semblerait que cela soit faux...

Sinon je ne sais quel aspect "graphique" peut prendre un ensemble de points dans ces conditions( cercle, segment, demi droite..)

Merci

[invite6ed3677d]

Tu as un triangle ABC. Tu as un point J sur [AB].
Tu connais donc la longueur de W ...
et tu cherches l'ensemble des points M tels que la longueur MJ soit égale au tiers de celle de W ... ca ressemble furieusement à ... ?

[invitecd8db149]

telle que la longueur MJ = CJ si je ne me trompe pas, en réutilisant l'égalité vectorielle trouvée dans le c) (W = 3CJ) donc l'ensemble des points M est le cercle de centre M et de rayon CJ, est ce cela?

[invite6ed3677d]

l'ensemble des points M est le cercle de centre M et de rayon CJ

On va dire que oui même si ta réponse est un peu bizarre ... mais je pense que tu as compris le truc et que c'est juste une inattention non ?

[invitecd8db149]

En effet, je n'avais pas fait attention lol
L'ensemble des points M est le cercle de centre J et de rayon CJ. Je pense avoir corrigé la faute.

De plus, en cherchant un peu j'ai trouvé la solution au e)

[invite6ed3677d]

Parfait !
Bon courage pour la suite

[invitecd8db149]

Merci beaucoup de ton aide.
J'ai enfin pu clore cet exercice et je crois que je suis paré sur les barycentres pour un bon petit contrôle

Merci encore et bonne soirée!