Probléme de math

[invitedf105d52]

Bonjour je suis en classe de premiére et j'aurais besoin de votre aide car je suis bloquée dans un exercice de mathématiques. Voici l'énoncé complet:

1. On dispose une bille sphérique de rayon 5cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16cm et contenant V₀cm³ d'eau. La surface est tangente à la bille.
Calculer le volume V₀ d'eau contenu dans le récipient.

2. On enlève la première bille et on place dans le récipient une bille de rayon 7cm. L'eau recouvre-t-elle la bille ? La bille sort-elle de l'eau ? Pourquoi ?

3. On enlève la 2éme bille et on place une bille de rayon xcm, avec x compris entre 0 et 8 dans le récipient.
a) Démontrer que le volume d'eau V(x), nécessaire à recouvrir la bille est:
V(x)=4/3pi(96x-x³)

b) f est la fonction définie sur ]0;8] par f(x)=V(x)-V₀. Vérifier que
f(x)=pi(-x³+96x-355).

c) Déterminer a, b et c tels que pour tout x appartenant à ]0;8],
f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c).

d) Déterminer le signe du trinôme -x²-5x+71selon les valeur de x.

e) Déterminer le signe de f(x) à l'aide d'un tableau de signe.

f) En déduire les valeurs de x, pour lesquelles les billes sont recouvertes par l'eau, et celle poue lesquelles les billes sortent de l'eau.

g) Existe-t-il une valeur x₀, autre que 5, pour laquelle il y a affleurement ? Si oui, déterminer l'arrondi au dixiéme de x₀



-Pour la q1 il n'y a pas de probléme, je trouve 1487cm³
-Pour la q2 je pense que la bille sort de l'eau puisqu'elle est plus grosse que la premiére bille.
-Ensuite pour la q3a, c'est là que je voudrais votre aide. Je commence par calculer V(x). Donc V(x)=(pi*R²*h)-(4/3pi*R³)
=(pi*8²*2x)-(4/3)pi*x³)
=(4/3pi*96x)-(4/3pi*x³)
=4/3pi(96x-x³)
le probléme c'est que je ne sais pas comment passer de (pi*8²*2x) à (4/3pi*96x).
-Pour la qb pareil, je calcule V(x)-V₀= [4/3pi(96x-x³)-1487] j'ai dévellopé mais je n'arrive pas à retrouver le même résultat. Je ne sais pas comment trouver -355.
-pour la qc je voudrais savoir si ma méthode est la bonne. Il faut montrer l'égalité de polynôme "par identification" ? Donc développer (x-5)(ax²+bx+c) et ensuite trouver a , b et c pour que le résultat soit égal à: pi(-x³+96x-355). Par contre je ne sais pas quoi faire avec 4/3pi ?
Ensuite pour les autres questions je ne sais pas comment procéder.

Je vous remercie d'avance des pistes que vous pourrez me donner,
à bientôt.
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[invitebb921944]

Bonjour !
Pour la q1 je n'ai pas vérifié tu as l'air sure de toi.
Pour la q2, pouet
Pour la q3 :

le probléme c'est que je ne sais pas comment passer de (pi*8²*2x) à (4/3pi*96x).

8².2x.Pi=4/3.(3/4.8².2x.Pi)=4/3.(3/2².8².2x.Pi)=4/3(8²/2².3.2x.Pi)=...
Pour la q4 : bah fais comme avant, écris toujours que x=(4/3).(3/4).x et calcule 3/4.x !
Pour la q5 :

pour la qc je voudrais savoir si ma méthode est la bonne. Il faut montrer l'égalité de polynôme "par identification" ? Donc développer (x-5)(ax2+bx+c) et ensuite trouver a , b et c pour que le résultat soit égal à: pi(-x3+96x-355). Par contre je ne sais pas quoi faire avec 4/3pi ?

Bah ouais mais c'est 4/3Pi(x-5)(ax²+bx+c) qu'il faut identifier et non (x-5)(ax²+bx+c). Sinon la méthode est bonne !

Pour la suite : un polynôme du second degré est du signe de a à l'exterieur des racines...
On verra plus tard pour la suite !

[invitef16d06a2]

-Pour la q2 je pense que la bille sort de l'eau puisqu'elle est plus grosse que la premiére bille.

sans calcul, on ne peut rien dire

[inviteddb72d6e]

sans calcul, on ne peut rien dire

Je pense même que l'on pourrait etre surpris du resultat en, fesant le calcul

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite70956cb0]

Je pense même que l'on pourrait etre surpris du resultat en, fesant le calcul

effectivement.
On te dit que l'eau est tangente à boule dans la question, ce qui te permet de trouver Vo.
Tu as du exprimer Vo de la façon suivante :
Vo=V(cylindre de hauteur R) - V(sphère de rayon R)

Tu reprends la même démarche pour la deuxieème question :
Tu as Vo qui est fixé ( par la question 1 )
Si la boule est entièrement dans l'eau l'égalité que j'ai mis au dessus ( en bleu ) est vérifié cette fois ci avec R=7cm

Fais le calcul et tu veras si c'est le cas

[invitedf105d52]

effectivement.
On te dit que l'eau est tangente à boule dans la question, ce qui te permet de trouver Vo.
Tu as du exprimer Vo de la façon suivante :
Vo=V(cylindre de hauteur R) - V(sphère de rayon R)

Tu reprends la même démarche pour la deuxieème question :
Tu as Vo qui est fixé ( par la question 1 )
Si la boule est entièrement dans l'eau l'égalité que j'ai mis au dessus ( en bleu ) est vérifié cette fois ci avec R=7cm

Fais le calcul et tu veras si c'est le cas

Oui, c'est vrai que la méthode est meilleure avec un calcul. Donc avec le calcul que tu m'as indiqué, j'ai trouvé que la hauteur du cylindre est de 14.5cm or la hauteur de la bille est de 14cm donc l'eau recouvre la bille !!!
Merci du coup de pouce !

[invitedf105d52]

Pour le signe du trinôme -x²-5x+71. Il faut d'abord calculer delta pour savoir combien de racine a le trinôme. J'obtiens delta=309 donc il y a 2 racines. Ensuite je calcule x₁ et x₂ et là je trouve x₁=(5-racine de 309)/-2 et x₂=(5+racine de 309)/-2 . Comme 309 n'a pa de racine est ce qu'il n'y aurais pas un autre moyen de simplifier les résultats parce que c'est un peu gênant pour la suite, pour faire le tableau de signe du trinôme...
Merci de m'éclairer

[invitedf105d52]

Et pour la question e) pour faire le tableau de signe de f(x), f(x)=4/3pi(x-5)(-x²-5x+71) ??? J'aimerais juste savoir si c'est bon...