Dm TS spé math : 2^3n - 1 = 7k

[Stevou]

Bonjour.
Désolé de déranger pour cela mais il faut dire que moi, celle avec qui je suis et tous les autres de la classe de spé maths, nous bloquons sur la première question du premier exercice du DM que nous avons à faire, et ce depuis plus d'une semaine (on s'est tous vengé sur l'exercice deux).
Alors voici l'énoncer :

Démonter que, pour tout entier naturel n : 2^(3n) - 1 est un multiple de 7.

Personnellement, je suis arrivé à la conclusion que cela signifiait que 2^3n et que 1 étaient congrus en modulo 7.
Ensuite, comme a congru b modulo c <=> a-b = kc avec un c entier relatif

Ainsi, j'ai fait :

2^(3n) - 1 = 7k.
2^n * 2^n * 2^n - 1 = 7k
8^n - 1 = 7k
(8^n - 1) / 7 = k

Et là, je voudrais prouver que k est un entier mais je ne sais plus comment m'y prendre.
Ai-je utilisé la bonne méthode ou dois-je tout recommencer autrement?

Avec des recherches personnelles (je le dis), j'ai comparé au théorème de Fermat mais cela n'avait aucun rapport (enfin je crois).

Enfin, la suite de la question est :
En déduire que 2^(3n+1) - 2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2) - 4 est un multiple de 7
(mais je vais faire le reste avant).

Dernière question, si ce n'est pas trop demandé, je n'ai pas compris ce qu'était exactement le théorème de Fermat :
si p est premier, a est un entier naturel et p et a sont premiers entre eux alors a^(p-1) - 1 | p.
Il n'y aurait pas un moyen de l'appliquer à ma question?

Merci de toutes vos réponses...
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[invite35452583]

Tu es très bien parti pour montrer que 2³ⁿ-1=7k, il reste à penser à écrire que 8=1+7 dans 8ⁿ-1, ou, si tu connais, 8ⁿ-1=8ⁿ-1ⁿ=(8-1)(...).
Non on ne peut appliquer le petit théorème de Fermat ici car n est quelconque dans 8ⁿ, et n'est qu'un multiple de 3 dans 2³ⁿ. Le petit théorème de Fermat indique seulement que 2⁶ⁿ est congru à 1 modulo 7.
Maintenant, on peut reprendre le petit théorème de Fermat, celui te dit que pour tout a non multiple de 7, on a a⁶ congru à 1 modulo 7 et donc a⁶ⁿ=(a⁶)ⁿ est congru à 1ⁿ=1.
Mais ceci ne donne qu'une partie des valeurs n tels que aⁿ soit congru à 1 modulo 7. Par exemple, avec cet exercice il est montré que pour a=2, a^m est congru à 1 dès que n est un multiple de 3 (et non de 6).
Si tu regardes pour a compris entre 1 et 6,
le n>0 le plus petit pour lequel aⁿ est congru à 1 modulo 7 est :
a n
1 1
2 3
3 6
4 3
5 3
6 2
(Fais les calculs pour vérifier toi même).
Ainsi pour a le théorème indique que certains exposants n vont vérifier que an est congru à 1 modulo p (en particulier il en existe toujours du moment que a est premier avec le premier p. Pour info : l'hypothèse p premier n'est pas utile mais ce n'est plus alors le petit théorème de Fermat mais une conséquence) mais il ne les donne pas tous.

[Stevou]

D'accord, merci pour cette explication.

Sinon, je crois que j'ai trouvé. Comme 8 = 7+1 alors -1 = -8 + 7 donc :

(8^n - 8 + 7) / 7 = k

(8^n - 8) / 7 + 1 = k
(8^n - 8) / 7 = k - 1
8^n - 8 = 7(k-1)
(je sais, j'ai pas pris le chemin le plus simple ici)

Comme n est un entier naturel, alors k est un entier naturel. Ainsi, on en déduit que 2^3n - 1 est un multiple de 7...

Non, j'ai un doute. A la base on est partit du fait que 2^3n - 1 = 7k donc c'est normal qu'on revienne à la même chose.
Je n'ai rien prouvé en fait...
Je suis perdu...

EDIT : ah non en fait c'est tout bon. Comme 7+1 = 8, c'est bon. Ouf... merci pour cette aide (en fait, c'est comme toujours, on croit que c'est super compliqué mais c'est tout bête à chaque fois)

[Stevou]

Non en fait je suis encore coincé. 8^n - 8 = 7(k - 1) ne prouve pas que k est un entier...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Stevou]

Attendez, si je fais tout par congruance :
2^3n congru 1 (7)
8^n congru 1 (7)
Et comme 8 congru 1 (7) alors :
8^n congru 8 (7)

Maintenant, est-ce qu'il existe une propriété qui dit que : a^n congru a (b) ?
Merci (le tableur de la calculatrice aurait tendance à me confirmer si je mets y1 = (8^x - 1)/7...)

[invitee103d1ed]

Salut,

Je pense que t'avais plus simple comme démonstration : Tu cherches a prouver que 8^n - 1 est divisible par 7.
ça te dit rien (8^n - 1) / (8 - 1) ? (programme de 1ère)

A+

[invite6fdc007f]

Non en fait je suis encore coincé. 8^n - 8 = 7(k - 1) ne prouve pas que k est un entier...

On doit demontrer Que 2^(3n+3)-1=7k'
2^(3n+3)-1=2^3n x 2^3-1
=2^3n x 8-1
=2^3n x (7+1)-1
=2^(3n)x7+2^3n-1
=2^3nx7+7k
= 7(2^3n+k)
=7k'

[danyvio]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (devise Shadock)

2³=8 (je suis vraiment fort)

et 81 mod(7) Vous n'en doutez pas ?

Or 2³ⁿ=8ⁿ
Donc... à vous de terminer, je en veux pas me taper tout le boulot

[hhh86]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (devise Shadock)

2³=8 (je suis vraiment fort)

et 81 mod(7) Vous n'en doutez pas ?

Or 2³ⁿ=8ⁿ
Donc... à vous de terminer, je en veux pas me taper tout le boulot

Tout es fait au post précédent.

2³=8
Or 81[7]
Donc 2³1[7]
D'où 2³ⁿ1ⁿ1[7]
<=>2³ⁿ - 10[7]
<=>7|(2³ⁿ - 1)