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Problème avec les factorielles



  1. #1
    Bobby Watson

    Problème avec les factorielles


    ------

    Bonjour à tous,

    En arithmétique nous avons un exercice à faire qui nous demande par combien de zéros 100! se termine t-il et de le démonter...

    Auparavant nous devions démontrer que 10! se terminait par 2 zéros.
    J'ai fait comme cela :

    10!= (2*5*10)*(3*4*6*7*8*9) = 100*36288.

    Mais je ne vois pas trop comment faire pour 100! ???

    Si vous aviez quelques pistes à me suggérer...


    Merci d'avance

    Bobby

    -----

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  4. #2
    Hamb

    Re : Problème avec les factorielles

    Pour trouver le nombre de zéros, il faut réussir à écrire 100! sous la forme a*10^n avec a qui n'est pas divisible par 10
    Déjà, on voit immédiatement que 100!=(100!/((9!/10)*10^11))*((9!/10)*10^11)
    (en considérant le produit 10*20*...*100)

    il reste donc à étudier le produit 2*3*...*9*11*...*19*21*...*99
    il n'y a aucun multiple de 10, donc le produit de deux de ces facteurs est multiple de 10 si l'un est multiple de 5 et l'autre de 2.
    regarde combien il y a de multiples de 5 qui ne finissent pas par 0, ils sont faciles à trouver. Si tu les multiplies par un multiple de 2, tu obtiens des multiple de 10. Tu les divises par 10 et tu augmente l'exposant de 10 (ce qui ne change pas ton produit de départ), tu obtiens un nouveau produit ou il faut chercher les multiples de 5. Une fois que tu auras éliminé tous les facteurs multiples de 5, le produit qu'il restera ne sera pas multiple de 10 (sinon il serait multiple de 5). Et là il ne reste plus qu'à regarder la puissance de 10 obtenue.
    Mes explications doivent pas etre tres claires, mais si je me suis pas trompé c'est une méthode qui marche (faudrait confirmer), mais ca parait fastidieux il y a surement un moyen plus simple.
    Dernière modification par Hamb ; 13/10/2007 à 17h20.

  5. #3
    -Zweig-

    Re : Problème avec les factorielles

    Méthode bien plus rapide : utilise la formule de Legendre :

    Si p est un nombre premier et n est un entier positif, on a :



    avec la valuation p-adique de n! et [x] la partière entière de x.

    Rmq : lorsque , alors, , ce qui assure bien que cette somme a un nombre fini de termes non nuls.
    Dernière modification par -Zweig- ; 13/10/2007 à 18h30.

  6. #4
    MiMoiMolette

    Re : Problème avec les factorielles

    Si tu veux, tu regardes combien de fois tu retrouves 5 dans la décomposition en facteurs premiers des termes de 100! (5, 15, 25 (2 fois), 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95), tu fais la même chose pour 2, et tu prends le plus petit... (il y en aura certainement beaucoup plus pour 2, donc ne te fatigue pas à compter ces derniers...)
    A cela, tu ajoutes le nombre de dizaines "pleines" (qu'on n'aura pas comptabilisées pour les 5 ni les 2).

    Ca se rapproche sûrement de la méthode de Hamb, mais je la trouve un poil compliquée...

    En tout cas, celle de Zweig est la meilleure, mais je ne sais plus si on voit déjà les valuations p_adiques en terminale
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    -Zweig-

    Re : Problème avec les factorielles

    Ah oui, j'avais pas fait gaffe à son âge à Boby Oublis ma méthode dans ces cas-là.

  9. #6
    MiMoiMolette

    Re : Problème avec les factorielles

    Élémentaire mon cher

    Bref, je voulais rajouter que tu fais tout ce bazar avec 2 et 5 car ce sont les diviseurs premiers de 10.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  11. #7
    Hamb

    Re : Problème avec les factorielles

    Oui en gros mimoi tu as résumé clairement ce que je tentais d'expliquer de facon ténébreuse :]

  12. #8
    Bobby Watson

    Re : Problème avec les factorielles

    Merci beaucoup pour vos réponses :

    Je pense que je vais prendre ta méthode zweig qui me parait la plus au programme!


    Bobby

  13. #9
    MiMoiMolette

    Re : Problème avec les factorielles

    Justement, elle n'est paaaas au programme.

    Ou alors t'es dans un lycée chelou
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #10
    danyvio

    Re : Problème avec les factorielles

    SI on découpe la série des nombres de 1 à 100 par tranches de 10 :

    1 à 10, 11 à 20, ..., 81 à 90, 91 à 100
    Chacune de ces tranches (à part la dernière qui contient 100) comporte : un nombe terminé par 2, un nombre terminé par 5, et un nombre terminé par 0.
    A l'intérieur de ces tranches, les produits générent donc 2 zéros : un zéro pour le produit de xxx2 par xxx5, + un zéro pour le produit par xxxx0.
    Il y a 9 tranches donc ...
    Toutefois la dernière tranche comporte 1 zéro de plus que les autres because 100.
    Merci qui ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  15. #11
    Hamb

    Re : Problème avec les factorielles

    dany je crois que tu te trompes : par exemple la tranche 21-30 25*22=5*5*2*11=5*11*10 si tu multiplies par 24 ca fait 11*12*10*10=11*12*100=132*100 ce qui fait 2 zéros et en ajoutant celui de 30 trois zéros. résumé il y a par tranche non pas 2 zéros mais (la puissance de 5 dans la décomposition en facteurs premiers du nombre se finissant par 5) + 1 zéros. (si je ne me trompe pas).

  16. #12
    Bobby Watson

    Re : Problème avec les factorielles

    Merci à tous,

    J'ai trouvé à la fin que 100! se terminait par 23 zéros.

    A bientot


    Bobby

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  18. #13
    MiMoiMolette

    Re : Problème avec les factorielles

    Wai, on avait trouvé 23 aussi en cours
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #14
    danyvio

    Re : Problème avec les factorielles

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    dany je crois que tu te trompes : par exemple la tranche 21-30 25*22=5*5*2*11=5*11*10 si tu multiplies par 24 ca fait 11*12*10*10=11*12*100=132*100 ce qui fait 2 zéros et en ajoutant celui de 30 trois zéros. résumé il y a par tranche non pas 2 zéros mais (la puissance de 5 dans la décomposition en facteurs premiers du nombre se finissant par 5) + 1 zéros. (si je ne me trompe pas).
    Oui ! Je n'ai pas assez réfléchi
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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