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limite de sinus



  1. #1
    LucioleleLensois

    limite de sinus

    Tout d'abord bonjour tout le monde,
    je passe un message pour vous demander des conseils pour un exercice que je n'arrive pas à resoudre. Voici l'énoncé :
    On rappelle que lim sin(x)/x = 1.
    x->0
    alors, calculer la limite suivante pour tout n appartenant a N,
    lim sin(nx)/sin(x).
    x->0

    J'ai essauyé de décomposer la fonction mais ca ne m'a rien donner, j'ai également essayé avec la dérivé pour obtenir le même résultat. Je suis donc bloqué
    Voila, merci d'avance et bonne appétit.

    -----


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  3. #2
    Electrofred

    Re : limite de sinus

    Salut,

    Alors pour cet exo, l'idée sa serait de faire apparaitre du (je note bien X car on n'a pas forcément X=x), comme X tend vers 0 ... .
    Tu ne vois pas un moyen de faire apparaitre quelque chose de cette forme (ou du c'est la même chose, en 0 la limite vaut toujours 1) ?

    Un petit coup de main ?

     Cliquez pour afficher

  4. #3
    Bruno

    Re : limite de sinus

    EDIT : rien dit.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  5. #4
    LucioleleLensois

    Re : limite de sinus

    le seul moyen que je vois pour sortir n de sin(nx), c la dérivé et encore ca ne fait que faire apparaitre un n en facteur de sin(nx).
    je ne vois donc pas comment faire.
    un petit coup de main serait donc, en effet, trés gentil.
    Merci encore une nouvelle fois.

  6. #5
    LucioleleLensois

    Re : limite de sinus

    Ha oui désolé, j'avais pas vu le "cliquer pour afficher."
    bon ben je vais essayer.
    Merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    LucioleleLensois

    Re : limite de sinus

    Faut-il que je dise que sin(nX)/sin(X) = sin(nX)/X * X/sin(X).
    on obtiendrais alors sin(nX)/sin(X) = sin(nX)/X
    et la limite serait donc 0 quand X->1 ?
    mais se pose alors un autre probleme, comment justifier le fait que la limite de X/sin(X) soit 1 quand X->0 ?
    Oui je sais je suis nul.

    et MERCI encore.

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  10. #7
    jim12

    Re : limite de sinus

    salut tous le monde
    en fait LucioleleLensois, tu n'as qu’a appliquer le théorème d’Hopital
    lim(x tend vers 0) de sin(nx)/sin(x)=lim(x tend vers 0)de (n*cos(nx)/cos(x))=n

  11. #8
    LucioleleLensois

    Re : limite de sinus

    Merci bien et bonne vacance prochaine

  12. #9
    Electrofred

    Re : limite de sinus

    Bonjour,

    Le probleme c'est qu'en TS (je suppose que tu es en 1ereS ou en TS), la regle de l'hospital n'est pas trop appréciée par les profs, j'en avais parlé avec mon prof mais il faut essayer de faire sans (pour des questions de conditions d'existence ...), normalement on n'en entend pas trop parler au lycée (enfin sauf pour les petits curieux).

    Faut-il que je dise que sin(nX)/sin(X) = sin(nX)/X * X/sin(X).
    on obtiendrais alors sin(nX)/sin(X) = sin(nX)/X
    et la limite serait donc 0 quand X->1 ?
    Non en fait c'est pas trop ca, enfin ce qui tu écris est juste mais ca ne résoud pas le probleme.
    Voici ma méthode :
    Pour tout (), on a :
    avec X=nx
    Or donc (par composée).
    De plus, donc et donc par somme et par produit .

    Compris ?

    Si tu n'es pas convaicu tu peux essayer un cas particulier : n=2.
    Donc = ??? .
    Normalement on devait trouver 2 (d'apres ce qu'on a montré).
    On peut écrire pour tout () donc donc . Ca marche .
    Et voila, bon apres pour le faire comme ca dans les autres cas c'et plus délicat, mais ici c'est tres rapide avec les formules de duplication du sinus donc a permet de vérifier pour n=2.

    A+

  13. #10
    jim12

    Re : limite de sinus

    Salut Electrofred, pourquoi compliquer les choses…bon si la règle d’Hopital n’est pas vraiment appréciée, alors on fait appel aux développements limités (théorème de Mac Laurin)qui consiste simplement à écrire sin(nx) sous forme d’un polynôme au voisinage de zéro(selon l’ordre)
    Exemple : si on fait un développement au 1er ordre de sin(nx) au voisinage de 0,on trouve que
    Sin(nx)=nx, idem pour la fonction sin(x) qui donne x d’où :
    Limite(x tend vers 0)(sin(nx)/sin(x))=limite(x tend vers 0)(nx/x)=n

    bonne continuation

  14. #11
    deadalnix

    Re : limite de sinus

    jim12 > On fait pas de devellopements limité a ce niveau, ils ont jamais vu. La solution de Electrofred peut parraitre impressionnante mais elle est en fait tres simple. et correcte qui plus est

  15. #12
    jim12

    Re : limite de sinus

    Salut Deadalnix..bon c’est pas grave mais tôt ou tard ils vont en entendre parlé,comme ça ils auront une petite idée

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  17. #13
    Electrofred

    Re : limite de sinus

    Bonjour,

    Oui en effet pas du tout de develloppements limités au lycée (de plus je pense que son prof attendait plus ou moins ca car l'énoncé rappelle la limite usuelle du sin(x)/x en 0), j'en ai parlé un peu a mon prof, ca a l'air passionnant et surtout bien pratique.
    C'est vrai qu'en fait ma méthode est tres simple, il suffit de voir que , mais j'en ai beaucoup rajouté autour pour expliquer et tout en effet , désolé si ca parait flou il y a juste cette petite astuce a voir en fait.

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