Primitive ou pas ?

[invite76774a8d]

Bonjour, lors d'un exercice, je tombe sur une question posée tel quel :

u et v sont deux fonctions dérivables sur R. Montrer que :
u' = v' si et seulement si il existe une constante réelle c telle que pour tout réel x :
u(x) = v(x) + c.

N'ayant donné pour explication qu'une vulgaire conclusion ( c' = 0 donc on obtient logiquement le résultat voulu) , j'ai entrepris de regarder un peu plus loin, et j'ai remarquer une forme me faisant penser aux primitives. Le problème, c'est que je n'ai jamais parler de çà en cour :s

Pouvez vous m'aider ? Merci
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, quel est ton niveau d'études ? Au lycée, ce résultat est admis. Dans le supérieur, on peut le démontrer à l'aide du théorème des accroissements finis…

[danyvio]

Ce qui te trouble, c'est que l'exercice est très simple :

u=v+c -> u'=v' pas de problème.
Pour la réciproque, ne pas aller chercher de primitives compliquées, puisque de toutes façons tu n'as pas d'hypothèse sur u et v
Remarque simplement que u'=v' -> u'-v'= 0. Or u'-v'=(u-v)' qui a donc pour primitive une primitive de 0 donc ..... (c'est aux 9/10 ème mâché)

[invite76774a8d]

Je suis en Terminale S, mais ce qui me pose problème, c'est le "si et seulement si " qui sous entend que s'il n'y a pas de constance réele c, ce résultat diffère. Enfin c'est ce que je pense ... Non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Ce qui te trouble, c'est que l'exercice est très simple :

u=v+c -> u'=v' pas de problème.
Pour la réciproque, ne pas aller chercher de primitives compliquées, puisque de toutes façons tu n'as pas d'hypothèse sur u et v
Remarque simplement que u'=v' -> u'-v'= 0. Or u'-v'=(u-v)' qui a donc pour primitive une primitive de 0 donc ..... (c'est aux 9/10 ème mâché)

Ah oui, ma réponse évoquant le théorème des accroissements finis concernait la démonstration du fait que si la dérivée d'une fonction est nulle sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle. Si l'on admet cela, c'est en effet très facile (au point que j'avais oublié qu'il y avait quelque chose à démontrer en plus ), et c'est probablement ce qui était attendu si la question a été posée à un lycéen.

[danyvio]

Je suis en Terminale S, mais ce qui me pose problème, c'est le "si et seulement si " qui sous entend que s'il n'y a pas de constance réele c, ce résultat diffère. Enfin c'est ce que je pense ... Non ?

Le 'si et seulement si" est un élément de phrase qui signifie une double implication, autrement dit :

L'un est vrai entraîne l'autre est vrai ET l'autre est vrai entraîne l'un est vrai.

Ici, on te demande de démontrer : u=v+c -> u'=v'
et d'autre part démontrer que :
u'=v' -> u=v+c

[invite76774a8d]

Merci à vous !