ex spé math bac
Bonsoir j'ai un petit souci avec un exercice trés dur !!
1. Etudier suivant les valeurs de n, e reste de la division de 7^n par 10.
Ici jai trouvé comme reste 1,3,7 et 9 grace a un tableau de congruence modulo 10.
2.On pose, pour tout entier naturel n:
A=1+7+....+7^n
Quel est le chiffre des unités de A?
J'ai esayé d'utilisé l'expression suivante :
a*10^n+b*10^(n-1)+......+c*10+d
mais apres j'arive pas a trouver le raport entre tout ça.
Merci de votre aide
Plop,
Bon à vue de nez, t'as de bons réflexes (mais je ne m'avancerai pas dessus :P)
En fait, dans la première question, on te demande d'étudier les congruences de 7^n selon les valeurs de n.
Donc tu as testé, je pense 7^1, 7^2, 7^3, 7^4 et puis tu as vu qu'ensuite ça revenait aux mêmes valeurs.
En ... extrapolant, je crois qu'on dit comme ça, tu peux en déduire que si n est un multiple de 4, comme 4, la congruence à 10 sera de...
Si n est comme 1, de la forme 4k+1, la congruence à 10 sera de...
Le 4k se trouve car 7^4 est congru à 1 [10] et que quand, alors
Ensuite, tu as les différentes congruences selon les valeurs de n.
Pour la question 2, cela s'inscrit dans la suite logique de la question 1 (d'ailleurs, un bon exercice de maths se reconnaît à ça ^^). Quand on demande le chiffre des unités du nombre de A, on écrit très justement comme tu l'as fait, et le nombre recherché est d.
Or, si on prend ton écriture de A, on voit qu'on peut mettre en facteur 10 et avoir le reste d.
Donc A est congru à combien modulo 10 ?
Cela revient alors à chercher quel nombre ?
Puis demande-toi ce qu'est le nombre A.
C'est la somme des puissances de 7, 7^k, pour k allant de 0 à n.
Or, tu sais que si
Petits indices :
- si tu sommes 4 puissances consécutives de 7, qu'obtiens-tu comme congruence ?
- prends encore une fois les 4 cas possibles pour n.
Re : ex spé math bac
Merci beaucoup de m'avoir répondu mis j'ai pa réusi a factoriser par 10et apres je sui bloqué!! aidé moi .
Merci d'avance
Dis moi, tu ne serais pas un élève de montebello ?
Ben tu as a*10^n+b*10^(n-1)+......+c*10+d
Tu peux écrire 10*(a*10^(n-1)+b*10^(n-2)+...+c) + d. Or, quand a est congru à b modulo 10, cela veut dire que a s'écrit sous la forme b + 10k
Ok jusqu'à là ça va mais ensuite pour déterminer à quoi est congru A... c'est plus dure :s
Attention, les restes que tu as indiqués ne sont pas inscrits dans l'ordre d'apparition. En partant de 70, 71 etc. on trouve 1, 7, 9, 3. Ce peut être gênant pour la suite de tes calculs.Envoyé par _bolo13
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
c'est une somme d'une suite géométrique ainsi en va avoir = 1*(7^n-1/7-1)
= 7^n-1/6
Serait il possible d'avoir une correction pour que je puisse comparer s'il vous plait ??
Moi j'ai trouvé :
Unité de A c'est 1 pour n=4k , c'est 8 pour n=4k+1 , c'est 7 pour n=2k+2 et que c'est 0 pour n=4k+3 .
Mais j'ai trouvé ces résultats par tatonnement en faite car on remarque une périodicité pour 7^0-->d=1, 7^0+7^1--->d=8, 7^0+7^1+7^2---> d=7, 7^0+7^1+7^2+7^3 --->d=0, 7^0+7^1+7^2+7^3+7^4-->d=1 de nouveaux etc
rien de vraiment rigoureux, je ne pense pas que se soit apprécié pour un correcteur ^^. Je voudrais voir votre méthode c'est pour ça.
Pardon pour le double post mais j'ai voulu réediter mais j'ai mis plus de 5min pour écrire cela...
Donc j'ai réfléchi à cela :
Ou bien sinon, je viens d'y penser, pour que se soit plus rigoureux, on remarque que :
A l'aide de la question 1
7^4k congrue à 1 (modulo 10)
7^(4k+1) congrue à 7 (modulo 10) ==> 7^4k + 7^(4k+1) congrue à 8 (modulo 10) [ 8 étant l'unité de A]
7^(4k+2) congrue à 9 (modulo 10) ==> 7^4k + 7^(4k+1) + 7^(4k+2) congrue à 17 (modulo 10) [ 7 est l'unité de A]
7^(4k+3) congrue à 3 (modulo 10) ==> 7^4k + 7^(4k+1) + 7^(4k+2) + 7^(4k+3) congrue à 20 (modulo 10) [ 0 est l'unité de A]
Ensuite on retourne sur une périodicité. Et se qui revient à ma conclusion suivante :
Unité de A c'est 1 pour n=4k , c'est 8 pour n=4k+1 , c'est 7 pour n=4k+2 et que c'est 0 pour n=4k+3
Est ce comme ça qu'il fallait procédé ou c'est toujours non suffisant ? J'ai vraiment besoin de votre réponse merci.
Cordialement
