Polynômes 1eS

[invited7e8c82a]

Bonjour à tous,

Voici la question qui me pose problème. Il s'agit de discuter le nombre de solutions de cette équation suivant les valeurs de m (m étant réel) :
mx³-7mx²+(16m+1)x-12m-2=0 (E)

Voici ce à quoi j'ai pensé :
On remarque déjà que 2 est racine évidente, le membre de gauche se factorise donc comme :
(x-2)(mx²-5mx+6m+1)=0 (E)

On peut alors calculer le discriminant du second facteur (mx²-5mx+6m+1). Delta = m²-4m. Les racines de Delta sont donc m=0 et m=4.

Ainsi, l'équation (E) admet une seule solution si Delta est négatif,
l'équation (E) admet deux solutions si Delta est nul,
l'équation (E) admet trois solutions si Delta est positif.

Mais le problème c'est que si Delta est nul pour m=0, je ne trouve qu'une seule solution à (E) et cette solution c'est x=2.

Quelqu'un voit il l'erreur dans ce raisonnement ?

Merci pour votre aide
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[invite1237a629]

Coucou,

2 est appelé racine double (càd que tu peux factoriser par (x-2)²)

j'ai pas vérifié les calculs...vais essayer de le faire

[invite1237a629]

C'est ça pour les calculs, y a un hic ^^

La solution quand Delta = 0, c'est -b/2a.
Là, ton b vaut -5m et ton a vaut m.
Donc la racine est...pas 2 en tout cas ^^


PS : j'espère ne pas m'être trompée...si c'est le cas, désolée...j'crois qu'à force de faire des maths, on fatigue

[invited7e8c82a]

Salut Mimimolette,

Merci pour ton aide. Oui effectivement pour m=0 ou m=4, la racine double est x=5/2 si on suit ton idée.

Ce qui me chiffone c'est que si Delta=0 et donc m=4, je remplace dans mx²-5mx+6m+1=0 (cad 4x²-20x+25=0) et je résouds (x=5/2).

Mais si Delta=0 et que m=0, je remplace dans mx²-5mx+6m+1=0 et là j'en déduis quoi ? Quelle est la racine double ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Bonsoir, si m=0, alors tu n'as pas affaire à une équation de degré deux et le calcul du discriminant n'a plus de sens. Que devient ton équation dans ce cas ?

[invited7e8c82a]

Si m=0 on se ramène à une équation du premier degré x-2=0.

Donc pour conclure, la solution serait ? :

(E) admet une solution si m appartient à [0;4[ -> (x=2)
(E) admet deux solutions si m=4 -> (x=2 et x=5/2)
(E) admet trois solutions si m appartient à ]-oo;0[ U ]4;+oo[

Vous êtes ok avec ça ?