Bonsoir à tous !
Voici un de mes exercices, je ne suis pas vraiment très douée en maths et j'aimerai que vous m'aidiez :

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On considère un tétraèdre OABC tel que les triangles OAB, OAC et OBC soient rectangles isocèles en O, avec OA=OB==OC=c. On note I le milieu de [AB] et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle COI.

1. Déterminer, en justifiant votre réponse, la nature du triangle ABC, puis calculer son aire S en fonction de c.
Rappel : la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est a* racine de 3 /2.

2. Montrer que la droite (AB) est orthogonale au plan (COI).
Indication : cela revient à prouver que (AB) est orthogonale à 2 droites sécantes au plan (COI).

3. En déduire que
a) (OH) est orthogonale à (AB).
b) (OH) est orthogonale au plan (OAH).

4) a) Montrer que (OA) est orthogonale à (BC)
b) En déduire que (BC) est orthogonale au plan (OAH)

5) Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.

6) On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par V= 1/3*T*h (où T est l'aire d'une face et h la hauteur correspondante)

a) Calculer le volume du tétraèdre OABC, en fonction de c.
b) En déduire la distance OH, en fonction de c.

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Alors voici mes 1ères réponses :

1. On sait que :
AOB est un triangle rectangle isocèle en O donc : AO=OB
AOC est un triangle rectangle isocèle en O donc : OC=AO
OBC est un triangle rectangle isocèle en O donc : OC=OB
Ansi, on a : AC=AB=BC. Donc, ABC est un triangle équilatéral.

Aire d'un triangle isocèle : B*h/2
Aire d'un triangle rectangle isocèle : c*c/2
donc a=c*c/2, donc S=a * racine de 3/2= c*c/2 * racine de 3/2
S = c*c * racine de 3 /4

2. I est le milieu de [AB]. (CI) est la médiane issue de C donc (CI) est la hauteur de ABC issue de C car il est équilatéral car dans un triangle équilatéral, la médiane et la hauteur issue d'un même sommet sont confondues.) donc (CI) perpendiculaire à (AB)
De même, dans AOB, isocèle en O, I est le milieu de [AB], donc (OI) est la hauteur de OAB donc (OI) perpendiculaire à (AB).
Ainsi, si (AB) perpendiculaire à (CI) et (AB) perpendiculaire à (OI).
(OI) et (OC) sont 2 droites sécantes au plan (COI) donc (AB) est orthogonale au plan (COI).

3. a) On sait que : (AB) est orthogonale à (COI) et que (OH) est contenue dans (COI), donc (OH) est orthogonale à (COI)
b) (AB) est contenue dans (ABC) or (OH) est orthgonale à (AB) donc (OH) est orthogonale à (ABC).

4. a) (CO) est perpendiculaire à (OA) et (CO) est contenue dans le plan (OBC) donc (OA) est orthogonale à (OBC). Dons, (OA) est orthogonale à (BC) car (BC) est contenue dans le plan (OBC).

b) (OA) est orthogonale à (BC). (OA) est contenue dans le plan (OAH) donc le plan(OAH) est orthogonale à (BC).

5. Pour cette question je coince... Il faudrait démontrer que (AH) est perpendiculaire à (CI) puisque on sait déjà que (CI) est la hauteur issue de C. Mais je n'arrive pas à le démontrer...

6. a) S= c*c * racine de3 /4
V= 1/3 * S * h= 1/3 * c*c*racine de 3 /4 * a*racine de 3 / 2= 3a * c*c /24
mais çà me parait assez bizarre... j'ai du me tromper quelque part...

b) du coup là, je sais pas...

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Voilà, pouvez-vous m'aider ? me dire si mes raisonnements sont justes, faux et m'aider lorsque je n'ai pas trouvé.

Merci d'avance pour vos réponses !