[TS] Nombres complexes

[invite72ea9d3f]

Bonjour !

Voilà, le DM est assez long, j'ai déjà établi que, avec M(x,y) / M(z) et étant donné un nombre complexe non nul w = u + iv, on a *z + w* = l (avec l réel). On a également, pour un droite D d'équation ax + by + c = 0, le complexe w = (a/2) + i(b/2) et l = - c.

Avec le même nombre complexe w et un réel k, je dois déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie : z* - *z - w* + k = 0.
J'ai trouvé que cet ensemble était le cercle de centre (u,v) et de rayon R = |w^2| - k. Comment établir le signe du rayon ? Je bloque bêtement, la fatigue n'aidant point. Pour que |w^2| - k soit positif ou nul, w doit être supérieur ou égal à , non ? Et ensuite ?

Par la suite, on me demande de montrer que dans P - {O} avec l'application f qui associe à M(z) le point M'(z' = 1/), on a les points M et M'=f(M) appartenant à une même demi-droite d'origine O.
Si je montre que = k*, c'est bon ? (je l'ai fait)

Ensuite, on montre que f est involutive. J'ai établi que f(f(M)) = f(M') car M''(z'') = M(z) (je vous passe les détails). On me demande de préciser l'ensemble des points P tels que f(M) = M et donner ses éléments remarquables. Comment faire ? Equation pour que les partie réelle et imaginaire de M' et M soient les mêmes ? C'est bien cela ?

Ensuite, j'ai la droite D ne contenant pas le point O. En utilisant ce qui est au début, je dois déterminer l'image de D par f, préciser sa nature géométrique et donner ses éléments remarquables. Je bloque ! Je dois avoir x' = x / (x^2 + y^2) et de même avec y' (en remplacant x par y), mais où cela me mène-t-il ? Comment arriver à l'ensemble ? Merci d'avance.
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[invite72ea9d3f]

Pardon d'insister, mais la chose est un rien urgente, donc...
Quelqu'un a-t-il une idée ?

[invite72ea9d3f]

Bien !

J'ai z' = 1/, ce qui me donne z = 1/.

J'ai alors x + iy = 1 / (x' -iy), soit x + iy = (x' + iy') / (x'^2 + y'^2).

J'ai la droite ax + by + c = 0.

Grâce aux formules précédentemment établies, j'ai x = x' / (x'^2 + y'^2) et de même avec y (en remplaçant le numérateur par y').

Je ne parviens pas à établir y', en sachant pourtant que je dois trouver un cercle ! Fatigue, veille des vacances...

Un peu de pitié dans ce monde de brutes ?

[invite5e34a2b4]

Salut, je vais essayer de répondre à ton autre fil de discussion qui a été fermé.

Mais bon, faut dire que t'expliques assez mal ce qu'il faut faire. C'est pour ça que personne ne te répond.

Donc si j'ai bien compris :
- D est une droite du plan ne passant pas par l'origine : elle se met donc sous la forme ax+by+c=0 avec
- et tu veux savoir l'image de cette droite par la transformation f(z)=1/z* , ce qui équivaut à

C'est bien ça ?

Donc l'idée, c'est celle que t'as eue. Tu te choisis un point M(x,y) de D et tu regardes son image M'(x',y') par f.

Ton expression de M(x,y) en fonction de M'(x',y') me paraît correcte. Il suffit à présent de réinjecter le (x,y) que t'as trouvé dans l'équation de D (puisque M appartient à D).
Tu obtiendras alors la relation entre x' et y'. Essaie alors de faire apparaître l'équation d'un cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]