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Problème casse-tête enfin pour moi...



  1. #1
    meathunter557

    Exclamation Problème casse-tête enfin pour moi...

    voilà, ça fait depuis cet apremidi que je me casse la tête à chercher ce pb aidez-moi svp:
    Soit p un nombre premiers supérieur à 5:
    montrer que 1+4p², peut s'écrire sous la forme de la somme de 3 carrés.
    (vrai pour 101, 101=1+4*5²=1²+8²+6²)

    Merci d'avance.
    P.S.: peut-être ac les congruences, par récurence... mais j'y suis pas arrivé;


    -----


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  3. #2
    patatoïde

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Bonsoir,
    Ca marche très bien par récurrence.
    Tu as 1+4(p+1)2=1+4p2+8p+4
    Et utilises ton hypothèse de récurrence.

    Petit indice si tu trouves pas la suite
     Cliquez pour afficher

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Je ne la sens pas, cette récurrence car si p est premier, p+1 ne l'est sûrement pas.
    Le problème est ancien (Descartes) mais pas forcément simple :
    http://pagesperso-orange.fr/yoda.gui...f/SomCa3ca.htm

  5. #4
    patatoïde

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Je ne la sens pas, cette récurrence car si p est premier, p+1 ne l'est sûrement pas.
    Le problème est ancien (Descartes) mais pas forcément simple :
    http://pagesperso-orange.fr/yoda.gui...f/SomCa3ca.htm
    Yep avais omis ce "léger" détail ^^

  6. #5
    Forhaia

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    J'ai bien une piste, mais je sais pas encore si elle aboutit...

    1+4p2=1+(2p)2
    =1+((p+n)+(p-n))2 avec n entier naturel
    =1+(p+n)2+2(p+n)(p-n)+(p-n)2
    =(p+n)2+(p-n)2+2p2-2n2+1

    On a deux carrés, reste à prouver que pour tout p premier superieur à 5 on pout trouver un entier n tel que -2n2+1 soit un carré parfait.
    ça marche pour p=5 et p=7 mais rien ne dit que cela soit généralisable.
    J'y réfléchis toujours...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Forhaia

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Ca y est je crois que j'ai trouvé.

    Il faut établir une égalité, la factoriser et montrer que toutes ses inconnues sont bien des entiers relatifs
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par Forhaia ; 15/12/2007 à 16h32.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Ton exercice, ce ne serait pas une bonne blague car :
    1 + 4 p² = 0² +1² + (2p)²

  11. #8
    Forhaia

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    On va quand même les considérer non nul, sinon ce serait aussi la somme de 513 carrés...

    Mais c'est pas une blague: voir ma proposition...

  12. #9
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Ton exercice, ce ne serait pas une bonne blague car :
    1 + 4 p² = 0² +1² + (2p)²
    Il serait bizarre que ce soit une blague alors qu'on pose une condition précise sur p :P
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  13. #10
    meathunter557

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Non c'est pas du tout une blague, je vous fait une confidence, mon prof de maths est un taré des maths et il nous a donné ça faire et à chercher pour "les plus curieux". Seulement, il nous laisse un mois pour réfléchir et ma curiosité est au maximum...
    Et je pense pas que c'est du genre à nous faire des petites blagues de ce style, faites moi confiance...

  14. #11
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    meathunter557 > Il existe un théorème sur la somme des 3 carrés :

    Un nombre est la somme de 3 carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme avec n et m des entiers naturels.

    Il suffit alors de montrer que pour tout p premier, n'est pas de cette forme-là.

  15. #12
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Bon, j'ai réussis à trouver une formule, mais ça me donne trop de carrés ... Je ne sais pas s'il y'a moyen de la bricoler pour avoir ce que l'on veut :

    (par définition puisque p est >= 5, alors il est impair) :


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  17. #13
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Ahhh, que je susi bête, il y'a bien plus simple ...

    D'après le grand théorème de Fermat(-Wiles) on sait qu'il existe deux entiers naturels et vérifiant :



    Ceci étant :

    Voilà notre somme de 3 carrés.
    Dernière modification par -Zweig- ; 19/12/2007 à 16h19.

  18. #14
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    PS : Ca concorde en plus bien avec ton exemple 4*25 + 1 = 101 = 8² + 6² + 1² = (2*4)² + (2*3)² + 1²

    Et on a bien 4² + 3² = 5² = 25.

  19. #15
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Précision : Si est de la forme alors la seule solution possible à l'équation est et (ça découle du théorème de la somme de 2 carrés)

  20. #16
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    +4p2=1+(2p)²
    =1+((p+n)+(p-n))² avec n entier naturel
    =1+(p+n)²+²(p+n)(p-n)+(p-n)²
    =(p+n)²+(p-n)²+2p²-2n²+1
    c'est à dire montrer que pour tout p, on peut trouver un n entier relatif et x entier naturel tel que 2(p+n)(p-n)+1=x2
    En fait ce n'est pas "un n" mais "pour tout n" que ta relation est vraie !

    On peut donc trouver pour tout p premier superieur à 5 un n entier relatif tel que 2p2-2n2+1 soit un carré parfait.
    Donc 1+4p2 est la somme de trois carrés parfaits.
    Et c'est là où ça cloche car si je prends p = 7 et n = 2, alors j'obtiens un nombre non carré parfait, ce qui fournit un contre-exemple à ta démonstration ...

  21. #17
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    PS : Ca concorde en plus bien avec ton exemple 4*25 + 1 = 101 = 8² + 6² + 1² = (2*4)² + (2*3)² + 1²

    Et on a bien 4² + 3² = 5² = 25.
    En fait, - j'ignore d'où est tiré son exemple - je pense qu'il vaut mieux prendre 9² + 4² + 2² = 81+16+4 = 101
    Ce serait trop facile avec des 1²...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  22. #18
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    meathunter557 > Il existe un théorème sur la somme des 3 carrés :

    Un nombre est la somme de 3 carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme avec n et m des entiers naturels.

    Il suffit alors de montrer que pour tout p premier, n'est pas de cette forme-là.
    Tu es sûr du 4^n ?
    Parce que c'est évident, et ce, quel que soit p
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  24. #19
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Mimoi' >

    Citation Envoyé par meathunter557 Voir le message
    (vrai pour 101, 101=1+4*5²=1²+8²+6²)
    Sinon oui, j'en suis sûr pour ma formule .

  25. #20
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Oui justement, je parlais de cet exemple ^^ était-ce dans l'énoncé initial (avant typographie keyboardesque) ?

    En fait, ce qui me gêne dans ta formule, c'est que N = 4^n(8m+7) est forcément pair.

    Donc de là, on démontre directement que 4p²+1 est développable en une somme de trois carrés ?

    ou bien je n'ai pas bien compris tes posts
    - Je peux pas, j'ai cours
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  26. #21
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Bah au début j'étais partis sur ce théorème puis finalement je me suis rattaché sur le grand théorème de Fermat en discernant deux cas :

    Cas 1 : Lorsque p /= (4k + 3)^{2n+1}, (k,n) € N, alors le grand théorème de Fermat stipule l'existence d'entiers naturels a et b vérifiant :



    Ceci étant :

    Ce qui démontre le résultat désiré.

    Cas 2 : lorsque p est de la forme :

    Alors d'après le théorème de la somme de 2 carrés, il existe pas de carrés non nuls vérifiant : .
    La seule solution est la solution triviale et , ce qui nous donne :



    Ce qui démontre une nouvelle fois le résultat désiré.

    (Bon ok, il y'a effectivement un carré nul Je n'ai pas trouvé mieux pour l'instant ...).

  27. #22
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Donc, il ne faut pas passer par là :/ ou alors il y a eu une étape de loupée

    Et le plus fun serait de démontrer le grand théorème de Fermat (j'te le laisse, je l'ai jamais vu )

    Bon, ben...let's go...vais voir ce qu'il y a de marrant (et de faisable xD) dans cet exo
    - Je peux pas, j'ai cours
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  28. #23
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Bah, si je prends l'énoncé du posteur, ma solution est totalement juste car il n'a pas précisé que les carrés ne devaient pas être nuls ...

    Oui, je chercherais demain.


    Euhhh, tu veux dire le grand théorème de Fermat, a^n + b^n = c^n, au cas où n = 2 ? Car le cas général, il n'y a que 100 personnes au monde qui peuvent comprendre la démo ....

    Ce week-end si j'ai du temps, je te posterais la démonstration au cas où n = 2.

  29. #24
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    No souci pour la démo =)

    Sinon, pour l'exercice lui-même, j'ai réussi à montrer que si 1+4p² = a² + b² + c², dans a, b et c, il y a deux nombres pairs et un nombre impair.

    Je sais pas si ça peut servir...
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

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  31. #25
    -Zweig-

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Ou trois nombres impairs .

    Mais je ne pense pas que ça ait une grande utilité.

  32. #26
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Justement, non. Pas 3 nombres impairs (développer les 2a'+1).

    Now, j'ai juste à montrer qu'un nombre premier p peut s'écrire :

    p² = a' ²+b' ²+c' ²+c', avec a',b',c' € N...ce qui n'est vraiment pas gagné
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 19/12/2007 à 22h19.
    - Je peux pas, j'ai cours
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  33. #27
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Pour note : p² congru 1 ou 9 mod 10

    c' qcq
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  34. #28
    MiMoiMolette

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    tels que

    Le seul problème c'est qu'on ne connaît rien sur p...
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 19/12/2007 à 22h40.
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  35. #29
    patatoïde

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Je suis pas d'accord.
    Ca peut très bien être a2 ou b2 congru à 1 modulo 4.
    Je sais que je suis pointilleux mais la molette comprendra...

  36. #30
    Forhaia

    Re : Problème casse-tête enfin pour moi...

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message

    +4p2=1+(2p)²
    =1+((p+n)+(p-n))² avec n entier naturel
    =1+(p+n)²+²(p+n)(p-n)+(p-n)²
    =(p+n)²+(p-n)²+2p²-2n²+1
    'est à dire montrer que pour tout p, on peut trouver un n entier relatif et x entier naturel tel que 2(p+n)(p-n)+1=x2
    En fait ce n'est pas "un n" mais "pour tout n" que ta relation est vraie !
    On peut donc trouver pour tout p premier superieur à 5 un n entier relatif tel que 2p2-2n2+1 soit un carré parfait.
    Donc 1+4p2 est la somme de trois carrés parfaits.
    Et c'est là où ça cloche car si je prends p = 7 et n = 2, alors j'obtiens un nombre non carré parfait, ce qui fournit un contre-exemple à ta démonstration ...
    Je n'ai pas démontré que ça marchait pour tout n, mais pour un n particulier.

    Ca donne même la méthode pour le trouver n=(2-p)/3 ou (2+p)/3, pour tout p premier, un des deux quotients est entier.

    Par exemple, pour p=29
    n=(2-29)/3=-9

    4*292+1=3365
    2*292-2*92+1=1521=392

    382+202+392=3365
    Et voilà!

    Par contre je reconnais bien volontier que ta démonstration est beaucoup plus simple et courte (à ma décharge je n'ai pas encore vraiment vu le théorème de Fermat)

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