Problème casse-tête enfin pour moi...

[invitea1dbec36]

voilà, ça fait depuis cet apremidi que je me casse la tête à chercher ce pb aidez-moi svp:
Soit p un nombre premiers supérieur à 5:
montrer que 1+4p², peut s'écrire sous la forme de la somme de 3 carrés.
(vrai pour 101, 101=1+4*5²=1²+8²+6²)

Merci d'avance.
P.S.: peut-être ac les congruences, par récurence... mais j'y suis pas arrivé;


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[invite2e8ce3aa]

Bonsoir,
Ca marche très bien par récurrence.
Tu as 1+4(p+1)²=1+4p²+8p+4
Et utilises ton hypothèse de récurrence.

Petit indice si tu trouves pas la suite

 Cliquez pour afficher

Cherche une forme du type (a+b)²

[invitea3eb043e]

Je ne la sens pas, cette récurrence car si p est premier, p+1 ne l'est sûrement pas.
Le problème est ancien (Descartes) mais pas forcément simple :
http://pagesperso-orange.fr/yoda.gui...f/SomCa3ca.htm

[invite2e8ce3aa]

Je ne la sens pas, cette récurrence car si p est premier, p+1 ne l'est sûrement pas.
Le problème est ancien (Descartes) mais pas forcément simple :
http://pagesperso-orange.fr/yoda.gui...f/SomCa3ca.htm

Yep avais omis ce "léger" détail ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a80e525]

J'ai bien une piste, mais je sais pas encore si elle aboutit...

1+4p²=1+(2p)²
=1+((p+n)+(p-n))² avec n entier naturel
=1+(p+n)²+2(p+n)(p-n)+(p-n)²
=(p+n)²+(p-n)²+2p²-2n²+1

On a deux carrés, reste à prouver que pour tout p premier superieur à 5 on pout trouver un entier n tel que -2n²+1 soit un carré parfait.
ça marche pour p=5 et p=7 mais rien ne dit que cela soit généralisable.
J'y réfléchis toujours...

[invite8a80e525]

Ca y est je crois que j'ai trouvé.

Il faut établir une égalité, la factoriser et montrer que toutes ses inconnues sont bien des entiers relatifs

 Cliquez pour afficher

On cherche à prouver que 2p²-2n²+1 est un carré parfait avec p premier superieur à 5 et n entier relatif (oui j'ai changé d'avis!)

2p²-2n²+1 = 2(p+n)(p-n)+1

c'est à dire montrer que pour tout p, on peut trouver un n entier relatif et x entier naturel tel que 2(p+n)(p-n)+1=x²
soit 2(p+n)(p-n)=x²-1=(x+1)(x-1)

les deux cas possibles sont (les autres sont "symétriques")

x+1=p+n et x-1=2(p-n) ou x+1=2(p+n) et x-1=p-n

en sourtrayant membre à membre on obtient:

2= p+n-2p+2n ou 2=2p+2n-p+n
n=(2+p)/3 ou n=(2-p)/3

Il faut donc montrer que pour tout p premier l'un des deux rapports est un entier relatif.

soit d un entier relatif impair divisible par trois
on note i pour impraire et pa pour pair
et dp3 pour "divisible par trois" et ndp3 pour "non divisible par trois"

on a d ; d+1 ; d+2 ; d+3 ; d+4 ; d+5 ; d+6
........ i ..... p .......... i ...... p ...... i ...... p ...... i
.......dp3 . ndp3 ..... ndp3 .. dp3 . ndp3 . ndp3 ... dp3

En choisissant bien d, tout nombre premier p superieur à 5 (car 2 est pair et 3 divisible par 3 )sera donc soit p=d+2, soit p=d+4

donc si p= d+2 et si p=d+4
n=(2-p)/3=-d/3 n=(2+p)/3=(d+6)/3 donc n entier relatif
donc n entier relatif donc n entier relatif

On peut donc trouver pour tout p premier superieur à 5 un n entier relatif tel que 2p²-2n²+1 soit un carré parfait.
Donc 1+4p² est la somme de trois carrés parfaits.

[invitea3eb043e]

Ton exercice, ce ne serait pas une bonne blague car :
1 + 4 p² = 0² +1² + (2p)²

[invite8a80e525]

On va quand même les considérer non nul, sinon ce serait aussi la somme de 513 carrés...

Mais c'est pas une blague: voir ma proposition...

[invite1237a629]

Ton exercice, ce ne serait pas une bonne blague car :
1 + 4 p² = 0² +1² + (2p)²

Il serait bizarre que ce soit une blague alors qu'on pose une condition précise sur p :P

[invitea1dbec36]

Non c'est pas du tout une blague, je vous fait une confidence, mon prof de maths est un taré des maths et il nous a donné ça faire et à chercher pour "les plus curieux". Seulement, il nous laisse un mois pour réfléchir et ma curiosité est au maximum...
Et je pense pas que c'est du genre à nous faire des petites blagues de ce style, faites moi confiance...

[invite2220c077]

meathunter557 > Il existe un théorème sur la somme des 3 carrés :

Un nombre est la somme de 3 carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme avec n et m des entiers naturels.

Il suffit alors de montrer que pour tout p premier, n'est pas de cette forme-là.

[invite2220c077]

Bon, j'ai réussis à trouver une formule, mais ça me donne trop de carrés ... Je ne sais pas s'il y'a moyen de la bricoler pour avoir ce que l'on veut :

(par définition puisque p est >= 5, alors il est impair) :

[invite2220c077]

Ahhh, que je susi bête, il y'a bien plus simple ...

D'après le grand théorème de Fermat(-Wiles) on sait qu'il existe deux entiers naturels et vérifiant :



Ceci étant :

Voilà notre somme de 3 carrés.

[invite2220c077]

PS : Ca concorde en plus bien avec ton exemple 4*25 + 1 = 101 = 8² + 6² + 1² = (2*4)² + (2*3)² + 1²

Et on a bien 4² + 3² = 5² = 25.

[invite2220c077]

Précision : Si est de la forme alors la seule solution possible à l'équation est et (ça découle du théorème de la somme de 2 carrés)

[invite2220c077]

+4p2=1+(2p)²
=1+((p+n)+(p-n))² avec n entier naturel
=1+(p+n)²+²(p+n)(p-n)+(p-n)²
=(p+n)²+(p-n)²+2p²-2n²+1

c'est à dire montrer que pour tout p, on peut trouver un n entier relatif et x entier naturel tel que 2(p+n)(p-n)+1=x²

En fait ce n'est pas "un n" mais "pour tout n" que ta relation est vraie !

On peut donc trouver pour tout p premier superieur à 5 un n entier relatif tel que 2p²-2n²+1 soit un carré parfait.
Donc 1+4p² est la somme de trois carrés parfaits.

Et c'est là où ça cloche car si je prends p = 7 et n = 2, alors j'obtiens un nombre non carré parfait, ce qui fournit un contre-exemple à ta démonstration ...

[invite1237a629]

PS : Ca concorde en plus bien avec ton exemple 4*25 + 1 = 101 = 8² + 6² + 1² = (2*4)² + (2*3)² + 1²

Et on a bien 4² + 3² = 5² = 25.

En fait, - j'ignore d'où est tiré son exemple - je pense qu'il vaut mieux prendre 9² + 4² + 2² = 81+16+4 = 101
Ce serait trop facile avec des 1²...

[invite1237a629]

meathunter557 > Il existe un théorème sur la somme des 3 carrés :

Un nombre est la somme de 3 carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme avec n et m des entiers naturels.

Il suffit alors de montrer que pour tout p premier, n'est pas de cette forme-là.

Tu es sûr du 4^n ?
Parce que c'est évident, et ce, quel que soit p

[invite2220c077]

Mimoi' >

(vrai pour 101, 101=1+4*5²=1²+8²+6²)

Sinon oui, j'en suis sûr pour ma formule .

[invite1237a629]

Oui justement, je parlais de cet exemple ^^ était-ce dans l'énoncé initial (avant typographie keyboardesque) ?

En fait, ce qui me gêne dans ta formule, c'est que N = 4^n(8m+7) est forcément pair.

Donc de là, on démontre directement que 4p²+1 est développable en une somme de trois carrés ?

ou bien je n'ai pas bien compris tes posts

[invite2220c077]

Bah au début j'étais partis sur ce théorème puis finalement je me suis rattaché sur le grand théorème de Fermat en discernant deux cas :

Cas 1 : Lorsque p /= (4k + 3)^{2n+1}, (k,n) € N, alors le grand théorème de Fermat stipule l'existence d'entiers naturels a et b vérifiant :



Ceci étant :

Ce qui démontre le résultat désiré.

Cas 2 : lorsque p est de la forme :

Alors d'après le théorème de la somme de 2 carrés, il existe pas de carrés non nuls vérifiant : .
La seule solution est la solution triviale et , ce qui nous donne :



Ce qui démontre une nouvelle fois le résultat désiré.

(Bon ok, il y'a effectivement un carré nul Je n'ai pas trouvé mieux pour l'instant ...).

[invite1237a629]

Donc, il ne faut pas passer par là :/ ou alors il y a eu une étape de loupée

Et le plus fun serait de démontrer le grand théorème de Fermat (j'te le laisse, je l'ai jamais vu )

Bon, ben...let's go...vais voir ce qu'il y a de marrant (et de faisable xD) dans cet exo

[invite2220c077]

Bah, si je prends l'énoncé du posteur, ma solution est totalement juste car il n'a pas précisé que les carrés ne devaient pas être nuls ...

Oui, je chercherais demain.


Euhhh, tu veux dire le grand théorème de Fermat, a^n + b^n = c^n, au cas où n = 2 ? Car le cas général, il n'y a que 100 personnes au monde qui peuvent comprendre la démo ....

Ce week-end si j'ai du temps, je te posterais la démonstration au cas où n = 2.

[invite1237a629]

No souci pour la démo =)

Sinon, pour l'exercice lui-même, j'ai réussi à montrer que si 1+4p² = a² + b² + c², dans a, b et c, il y a deux nombres pairs et un nombre impair.

Je sais pas si ça peut servir...

[invite2220c077]

Ou trois nombres impairs .

Mais je ne pense pas que ça ait une grande utilité.

[invite1237a629]

Justement, non. Pas 3 nombres impairs (développer les 2a'+1).

Now, j'ai juste à montrer qu'un nombre premier p peut s'écrire :

p² = a' ²+b' ²+c' ²+c', avec a',b',c' € N...ce qui n'est vraiment pas gagné

[invite1237a629]

Pour note : p² congru 1 ou 9 mod 10

c' qcq

[invite1237a629]

tels que

Le seul problème c'est qu'on ne connaît rien sur p...

[invite2e8ce3aa]

Je suis pas d'accord.
Ca peut très bien être a² ou b² congru à 1 modulo 4.
Je sais que je suis pointilleux mais la molette comprendra...

[invite8a80e525]

+4p2=1+(2p)²
=1+((p+n)+(p-n))² avec n entier naturel
=1+(p+n)²+²(p+n)(p-n)+(p-n)²
=(p+n)²+(p-n)²+2p²-2n²+1

'est à dire montrer que pour tout p, on peut trouver un n entier relatif et x entier naturel tel que 2(p+n)(p-n)+1=x2

En fait ce n'est pas "un n" mais "pour tout n" que ta relation est vraie !

On peut donc trouver pour tout p premier superieur à 5 un n entier relatif tel que 2p2-2n2+1 soit un carré parfait.
Donc 1+4p2 est la somme de trois carrés parfaits.

Et c'est là où ça cloche car si je prends p = 7 et n = 2, alors j'obtiens un nombre non carré parfait, ce qui fournit un contre-exemple à ta démonstration ...

Je n'ai pas démontré que ça marchait pour tout n, mais pour un n particulier.

Ca donne même la méthode pour le trouver n=(2-p)/3 ou (2+p)/3, pour tout p premier, un des deux quotients est entier.

Par exemple, pour p=29
n=(2-29)/3=-9

4*29²+1=3365
2*29²-2*9²+1=1521=39²

38²+20²+39²=3365
Et voilà!

Par contre je reconnais bien volontier que ta démonstration est beaucoup plus simple et courte (à ma décharge je n'ai pas encore vraiment vu le théorème de Fermat)