Suites récurrentes

[invitee11d25e4]

Bonjour je suis nouveau sur ce forum et j'ai des problemes avec mon exercice de maths.
Je ne sais pas le résoudre merci de m'aider si quelqu'un le peut.

Soit la suite (Un) définie pour tout n>ou égal a 1 par :
Un+1=2racine(Un)
U1=1

1) Calculer U2,U3,U4,U5, et donner les résultats sous la forme 2^r
2)On définit, pour tout n>ou égal a 1, la suite (Vn) par :
Vn=ln(Un)-ln4
Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme V1.
3)En déduire que (Un) est une suite croissante.
4)Calculer lim(Vn) et en déduire lim(Un).
5)Exprimer Vn en fonction de n ; en déduire U10 sous la forme 2^r


Et encore merci si vous pouvez m'aider car je n'y arrive pas.
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[invite8241b23e]

Discussion déplacée.

[invitef3dd8bd8]

(j'ai pas trouvé l'endroit où la discussion a été deplacée)
pour le 1)
u1=1
u2=2
u3=2X2 ^1/2= 2 ^(3/2)
fais pareil avec les 2 autres en posant a chaque fois racine de 2 = 2 ^1/2

Pour le 2) on n'a encore fait la fonction ln donc je sais pas trop ce que c'est je sais juste que ln u _n-ln 4 = ln(un/4)
pour prouver que c'est une suite géométrique tu peux poser
v _n+1 = ln(u _n+1 /4)
ensuite tu peux remplacer u _n+1 par l'expression du début u _n+1=2racine un

[invite8241b23e]

(j'ai pas trouvé l'endroit où la discussion a été deplacée)

Là où tu la lis !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee11d25e4]

Merci d'avoir répondu mais je suis désolé je ne comprend pas la 1ere question!
Comment trouver U4 et U5 sous la forme 2^r ?

[invite1237a629]

Bonsoir,
L'astuce est toute simple : et on a

[invitef3dd8bd8]

donc on sait que u _n+1=2racine de un
u ₄=2X racine de u ₃
or u ₃=2 ^(3/2)
donc u ₄=2Xracine de (2 ^(3/2))
mais racine de 2 ^(3/2)=(2 ^(3/2))^1/2 car racine d'un nombre revient a le mettre à la puissance 1/2les puissances se multiplient et on obtient 2 ^3/4 mais comme on a u4=2X2 ^3/4 les puissances s'additionnent et ce qui donne u4= 2 ^7/4 et ici le r il vaut (7/4)
et tu fais pareil avec u5

[invitee11d25e4]

D'accord j'ai compris merci a vous !

Mais est ce que vous pouvez m'aider pour les questions 2 à 5 qui me posent aussi beaucoup de problemes ?
Et il ne me reste que tres peu de temps pour les faires !
Merci

[invitef3dd8bd8]

Alors pour le 2) pour prouver q'une suite est géométrique il faut prouver que quelque soit n€N u _n+1=u _n X q

Ici, on a vn=ln (un)-ln4
vn=ln(un/4)
d'ou v _n+1=ln(u _n+1/4)
or on a u _n+1=racine de (un)
v _n+1=ln(2 racine de(un))-ln4
mais comme vn=ln(un)-ln4 equivaut à vn=ln(un/4) d'où e^vn=(un/4) donc un =4 Xe ^vn
on remplace cette expression de un dans l'expression de v _n+1
ce qui donne v _n+1=ln(2racine de(4 X e^vn)-ln4
=ln(2X2 Xracine de(e^vn)-ln4
=ln(4Xracine de (e^vn)-ln4
=ln4+ln(racine de (e ^vn))-ln4
=ln(racine de (e ^vn)
=ln (e ^vn)^1/2
=vn X 1/2
donc v _n+1=vn X 1/2
(vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et avec comme premier terme v1= ln(u1)-ln4=-ln4
voilà j'espere que c'est juste parce que j'ai vérifié qu'avec u1 et u2