détermination d'ensembles

[invite85086d71]

alors voila j'ai cet exo et je n'arrive pas à la derniere question.

P est l'ensemble des points M de l'espace tels que :

MO² + 2MA²-3MB² = 24

repère orthonormal (o,i,j,k) O(0;0;0) , A(6;0;0) , B(0;6;0) et M(x;y;z)

a/ Démontrer que M appartient à P si et seulement si vecteur MG .(scalaire) vecteur u = 0 , vecteur u désignant le vecteur 2i - 3j

b/Déduisez-en alors l'ensemble P

voila c'est à la question a/ que je bloque. je ne sais pas comment faire.

je suis arrivée au résultat suivant :

MO² + 2MA²-3MB² = 14x² - 48x + 14y² - 108y + 14z² = -444
et MG . u = -2x-3y-z+4=0

si vous pouvez m'aider ça serais super !

merci d'avance
-----

[nissart7831]

Bonjour,

il faudrait que tu nous dises qui est G. Sinon, on ne va pas pouvoir avancer.

[bourbaki]

bonjour,
oui effectivement sans G on ne va pas loin ...

mais un truc déjà, je ne comprends pas comment tu trouves:
MO² + 2MA²-3MB² = 14x² - 48x + 14y² - 108y + 14z² = -444

moi j'arrive à: MO² + 2MA²-3MB²= -24x+36y-36.
Tu devrais reprendre tes calculs dès le départ ...

[invite85086d71]

ah oui dsl

G barycentre de (O;1) , (A;2) , (B;3) soit G(2;3;0) et MG(2-x ; 3-y ; -z)

pour ce qui est du calcul je pense que j'ai fais +3MB² au lieu de -3MB² (j'ai confondu avec une autre partie de l'exo) merci beaucoup

j'arrive à :

MO² + 2MA²-3MB² = -4x² - 48x-4y²+108y-4z² = -156

car j'ai MO² = x²+y²+z²
2MA² = (12-2x)²+(-2y)²+(-2z)²
3MB² = (-3x)²+(18-3y)²+(-3z)²

voila

[A voir en vidéo sur Futura]

[bourbaki]

M(x,y,z)
A(6,0,0)
B(0,6,0)
donc MA²=(x-6)²+y²+z²
soit 2.MA²=2[(x-6)²+y²+z²]=2(x-6)²+2y²+z²
De même, 3MB²=3(x²+2(y-6)²+z²)=3x²+6(y-6)²+3z²
Ainsi de suite, on arrive à:MO² + 2MA²-3MB²= -24x+36y-36 modulo erreurs et fautes de frappes
tu as vu ton erreur je pense ...

[invite85086d71]

non j'ai pas compris.

dans l'autre partie de l'exo j'ai calculé le vecteur 2MA et je trouve (12-2x ; -2y; -2z) et normallement à partir de ça je peux retomber sur les distance en mettant tout au carré et sous la racine, non?

[bourbaki]

le vecteur MA a pour coord ( 6-x, -y, -z), donc
le vecteur 2MA a pour coord ( 12-2x, -2y, -2z) ok ça je suis d'accord.
Cependant, soient M1(x1,y1,z1) et M2(x2,y2;z2) deux points.
la longueur M1M2 est égale à: Racine carrée de ( (x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)² )
d'où M1M2²=(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²
donc, considérons une constante, 3 par exemple. Alors on a :
3.M1M2²= 3(x1-x2)²+3(y1-y2)²+3(z1-z2)² et rien de plus !
tu vois là où tu te plantes ? En aucun cas on met le 3 au carré ...

[invite85086d71]

ok ok je croyais que tout était au carré. c'est trop bête.... bon maigre excuse je suis malade ^^ alors reprenons

MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24 ou -24x+36y = 60 ou -24x+36y-60=0

et encore une de mes erreurs : u.MG = -2x +3y -5 = 0 ; MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0

es-ce que je peux le démontrer comme ça?

donc P a pour équation-2x+3y+0z-z = 0 ?

[bourbaki]

je ne comprends pas ce qui te permet d'affirmer ceci: u.MG = -2x +3y -5 = 0
Ensuite je pense qu'il faut être plus rigoureux quand tu écris une suite d'égalité comme :
MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0
Qu'est ce que le point M, quelle condition tu fais sur lui ? pour moi c'est clair, M appartient à P si et seulement si "blablabla ok c'est juste", et précise en plus z quelconque car tu es dans l'espace ici.
Mais je ne pense pas que c'est comme ça qu'il fallait raisonner, car ton exo est découpé en 2 questions, et la deuxieme te demande explicitement de déduire que P est le plan orthogonal au vecteur u, passant par G. il est donc interressant de parler ce tout ça à un moment dans la question a/...

moi je dirais:

a/
i) M(x,y,z) appartient à P ssi (-2x+3y=5 ; z quelconque)
ii) M appartient à P ssi M(x, (2x+5)/2, z), où x,z sont choisis arbitrairement.
iii) Soit M un point de P. Les coord de M sont donc de la forme (x, (2x+5)/2, z).
Déterminer les coord du vecteur MG.
Calculer le produit scalaire MG.u. (tu dois trouver 0)
En principe on a travaillé par équivalence donc tu n'as pas à montrer la réciproque, à savoir faire le faire à l'envers, partir de MG.u=0 et en déduire que M appartient à P. (quelqu'un confirme peut-etre? )

b/ Ce n'est qu'un "en déduire". Tout le travail a déjà été fait à la question a/ ...
MG.u=0 <=> M appartient au plan orthogonal au vecteur u, passant par G.
je ne pense pas qu'on t'en demande plus, après je me trompe peut-etre si c'est le cas, donne l'équation du plan ...

[invite85086d71]

hmmmm?

u.MG = -2x +3y -5 = 0 car u(2;-3;0) et MG(2-x ; 3-y ; -z) à partir de là on peut faire le produit scalaire. non? c'est faux?

MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0 ça me semblait évident car on fait 0/12 = 0

pourquoi que z quelconque? M(x;y;z) est quelconque. on veut juste savoir les conditions qui font que les points M appartiennent à P.

"M appartient à P ssi M(x, (2x+5)/2, z), où x,z sont choisis arbitrairement." ça je ne comprend pas. quand je fais le calcul j'ai (2x+5)/3

[bourbaki]

u.MG = -2x +3y -5 = 0 car u(2;-3;0) et MG(2-x ; 3-y ; -z) à partir de là on peut faire le produit scalaire. non? c'est faux?

je suis d'accord avec u.MG = -2x +3y -5
Mais quelle hypothèse tu considères pour afffirmer que tout ça vaut zéro ? il te faut M appartient à P. n'oublie pas de le dire au début.

MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0 ça me semblait évident car on fait 0/12 = 0

ok ça c'est vrai

pourquoi que z quelconque? M(x;y;z) est quelconque. on veut juste savoir les conditions qui font que les points M appartiennent à P.

z est quelconque car si tu dis seulement " -2x +3y -5=0", c'est bien ça te donne une relation entre x et y, mais que vaut z ??? Réponse: z est quelconque, on peut prendre n'importe quoi ce n'est pas rien, moi je le dirais... (mais peut-etre ce n'est pas necessaire de le preciser, c'est mon coté bourbakiste ^^ )

"M appartient à P ssi M(x, (2x+5)/2, z), où x,z sont choisis arbitrairement." ça je ne comprend pas. quand je fais le calcul j'ai (2x+5)/3

exact, faute de frappe de ma part !
on a donc M(x, (2x+5)/3, z)

[invite85086d71]

ok ok je comprend mieux

oui tout à fait raison pour le u.MG = 0 quand M appartient à P

donc reprenons tout depuis le début.


P est l'ensemble des points M de l'espace tels que : MO² + 2MA²-3MB² = 24

MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24

MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0

Il faut donc que M vérifie l'équation (-2x +3y -5) = 0 pour appartenir à P avec z quelconque

Or u.MG = -2x +3y -5 donc on peut dire que M appartient à P si et ssi MG.u=0

Il faut donc que M(x, (2x+5)/3, z) avec x et z quelconque, pour que les points M forment le plan P. ou (-2x +3y -5) = 0 est une équation de P (avec z quelconque ^^) ou P est le plan orthogonal au vecteur u passant par G

bon j'espère que c'est bon là! (enfin tu pourras toujours trouver qulque chose à redire mais bon.... l'essentiel de la résolution est là)

merci merci ! vraiment très gentil. j'essayerais de ne pas te déranger trop souvent... non non ne t'inquiete pas je ne le ferais pas.

[bourbaki]

MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24

MO² + 2MA²-3MB²=12(-2x +3y -5) = 0

donc 24=0 ?
Attention à la rédaction ...
rédige en utilisant des "si", "alors", "c'est à dire", "donc" ... tu éviteras des erreurs et les profs apprecieront
Recommence pour la peine ...

Il faut donc que M(x, (2x+5)/3, z) avec x et z quelconque, pour que les points M forment le plan P. ou (-2x +3y -5) = 0 est une équation de P (avec z quelconque ^^) ou P est le plan orthogonal au vecteur u passant par G

Il faut donc que les coord. de M soient (x, (2x+5)/3, z) avec x et z quelconque, pour que M appartienne à P. Une équation de P est -2x +3y -5= 0, P est le plan orthogonal au vecteur u passant par G. Nickel

[invite85086d71]

oui oui mais tu sais sur l'ordi c'est pas si facile que ça de rédiger.

Si MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24

alors MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-60= 0

c'est à dire MO² + 2MA²-3MB² = 12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0

C'est bon? je vois toujours 24 = 0 mais c'est normal ici je pense...

alors voyons le verdict...

[bourbaki]

oui oui mais tu sais sur l'ordi c'est pas si facile que ça de rédiger.

Si MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24

alors MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-60= 0

c'est à dire MO² + 2MA²-3MB² = 12(-2x +3y -5) = 0 donc MO² + 2MA²-3MB² = (-2x +3y -5) = 0

C'est bon? je vois toujours 24 = 0 mais c'est normal ici je pense...

alors voyons le verdict...

tu penses mal désolé ... je t'explique:
Si MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24
alors Si MO² + 2MA²-3MB² -24 = -24x+36y-36 -24 = 24 -24 = 0
mais en aucun cas 24 = 0 (restons en base 10 ... )

tu as les équivalences suivantes :
i) M(x,y,z) appartient à P
ii)MO² + 2MA²-3MB² =24
iii)-24x+36y-36 = 24
iv)-24x+36y-60 = 0
v) -2x+3y-5 = 0

NB: je n'ai pas précisé z quelconque, en admettant que si je ne pose aucune condition sur z, il est quelconque !

[bourbaki]

sorry j ai fait un abus de copier/coller...
je voulais dire:

Si MO² + 2MA²-3MB² = -24x+36y-36 = 24
alors MO² + 2MA²-3MB² -24 = -24x+36y-36 -24 = 24 -24 = 0

[invite85086d71]

d'accord ! je vois maintenant. en effet je trouvais ça bizarre. oui complétement oublier le -24 de l'autre coté... faute d'étourderie... je je n'arrivais meme pas à le voir... a la la

enfin bon... j'ai l'impression que j'ai été complétement nule durant ce problème parce que je savais tout faire mais que je n'ai pas réussi.

c'est bon? tu as finis de trouver à redire? tu trouves un autre truc et je te refile un autre problème ! :P

[bourbaki]

non non, c'est bien. je vais retourner dans mes math à moi...

bravo à toi et bonne continuation