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Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]



  1. #1
    Marie-67

    Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Donc voilà mon problème . . .
    énoncé :

    S est une sphère de centre O de rayon r . On souhaite inscrire cette sphère dans un cône de révolution dont le volume v est le plus petit possible.
    Quelles doivent être les dimensions de ce cône ?

    1. Pour répondre, on pose AO= x . Vérifier que v = pi.r² * (x + r )²/x - r

    Aide On rapelle que : v = 1/3 pi.R²h ; où R désigne le rayon de la base du cône de révolution et h sa hauteur.

    Merci d' avance a ceux/celle qui auront des idées de réponses !

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    C'est à base de théorème de Pythagore. Appelle H le point où la génératrice du cône est tangente à la sphère et BC le diamètre du cône à sa base (ça fait une figure très simple dans le plan de symétrie).
    Appelle R le rayon du cône à sa base.
    Combien vaut AH ? Combien vaut BH ?
    Combien vaut la hauteur du cône ?
    Comment ces grandeurs sont-elles liées ?
    C'est très simple si on fait une figure bien propre.

  4. #3
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Escuse moi mais j'ai le même exercice à faire pour la rentrée et j'ai écris les lettres comme tu l'as dis dans ta réponse et je vois qu'il faut utilizer la relation de Pythagore mais je n'arrive pas au bout :s
    J'ai :
    AH = x+r
    BH = R
    Et ensuite je bloque :s
    Pourrais tu m'aider au plus vite ?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Il faut bien voir la situation : tu as un cornet de glace où tu as placé une boule de glace qui touche le cône en H et H' quand on fait le dessin dans le plan de symétrie. Ensuite tu mets un couvercle qui vient juste s'appuyer sur le cône et sur la boule. Ce couvercle s'appuie sur les points B et C du cône. I est le milieu du couvercle, dans l'axe.
    Il est futé d'introduire le demi-angle au sommet du cône, soit A.
    Regarde le triangle AOH, que peux-tu dire de sin(A) ?
    Regarde le triangle AIC, que peux-tu dire de tan(A) ?
    A partir de là, Pythaogre ou pas, tu dois arriver à trouver la hauteur (tu l'as déjà) et surtout le rayon du couvercle qui te donnera le volume de ta pyramide conique.

  6. #5
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    C'est possible que je ne sois pas très doué en maths mais je ne comprends pas pourquoi on calcule sin  et tan Â. Cela va nous donner le rayon ? O_o J'avoue que je suis un peu perdue encore et pourtant j'ai retracé la figure avec tes indications et calculé le sin  et la tan  mais cela ne m'avance pas...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Qu'as-tu trouvé pour le sinus et la tangente ?
    Le sinus s'exprime en fonction de 2 grandeurs connues : x et r. La tangente en fonction du rayon que l'on cherche et d'une autre grandeur connue. A partir de là, ça doit fonctionner car Pythagore donne aisément une relation entre sin² et tan².

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  10. #7
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    J'ai trouvé sin  = x+r / x et tan  = R/x+r nan ?

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Ok pour la tangente, pas pour le sinus (qui serait >1). Quelle est ta définition de x exactement ? Et puis n'omets jamais les parenthèses, c'est une source d'erreurs constante.

  12. #9
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    AO = x
    A étant le " sommet " du cône et O le centre de la sphère à l'intérieur du cône.
    Pourtant sin = HA/AO=HA/x. Selon le théorème de Pythagore HA = x+r donc sin  dans le triangle AOH = (x+r)/x. Je ne vois pas ma faute...

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Citation Envoyé par mouah Voir le message
    AO = x
    A étant le " sommet " du cône et O le centre de la sphère à l'intérieur du cône.
    Pourtant sin = HA/AO=HA/x. Selon le théorème de Pythagore HA = x+r donc sin  dans le triangle AOH = (x+r)/x. Je ne vois pas ma faute...
    Moi, j'en vois plusieurs : déjà le sinus ce n'est pas le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. Ensuite le théorème de Pythagore ce n'est pas qu'un côté de l'angle droit est égal à la somme de l'hypoténuse et de l'autre côté.

  14. #11
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Bah je sais bien sa donne :
    AO²=OH²+HA².
    Mais bon je tourne en rond là alors tanpis...

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Regarde bien la figure : sin(A) = r/x et tan(A) = R/(x+r)
    Ca permet de calculer R en fonction de x puisque notre ami Pythagore donne une relation entre sin² et tan². Ensuite le volume.

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  17. #13
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    La relation dont tu parles ( sin² et tan² ) je ne la vois nul part :s
    J'ai même cherché sur internet et rien ne me l'indique :s

  18. #14
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Ecris que tan² = sin²/cos² et que cos² = 1 - sin² et ça roule.

  19. #15
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    et cette relation m'apporte à quoi au juste ? A trouver la hauteur ? Parce que je veux bien calculer mais je n'y vois rien de concret par rapport à mon exercice O_o
    Désolé d'être si perdue :s

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    La hauteur, c'est r+x mais il faut trouver R, le rayon du couvercle en fonction de x et r. Et justement ces 2 équations judicieusement combinées donnent la valeur de R². Ensuite on calcule le volume par la formule qui est donnée et ça donne une fonction de x. On fait varier x de r à l'infini.

  21. #17
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Est ce que je suis sur la bonne voie si je trouve déjà :

    R² / ( x+r )² = r²/x²/(1-(r²/x²)) ?

  22. #18
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Tout à fait sur la bonne voie, il faut nettoyer cela car il y a des simplifications et ensuite calculer le fameux volume.

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  24. #19
    mouah

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Merci beaucoup pour tout.
    J'ai compris maintenant

  25. #20
    lilia.08

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    bonjour Jean paul,excuse moi de te déranger sur ce même excercice.j'ai moi aussi le même excercie à faire, j ai essayé de suivre tes instructions à la lettre mais pour je ne sais quelles raisons je n'arrive pas à trouver les mêmes résultas....pourrais-tu s'il te plait me venir en aide....?merci

  26. #21
    lilia.08

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    bonjour,j ai ce même exercice j ai donc essayé de suivre les instructions cependant il y a certaines choses que je ne comprend pas notamment les formules finales:
    tan²=sin²/cos²
    cos²=1-sin²

    cos² serait alors la valeur de R ???
    merci à ceux ou celles qui pourront m'éclaircir ce problème!

  27. #22
    Jeanpaul

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Déjà as-tu fait un dessin bien propre ? Avec les angles droits là où il faut.
    Ensuite as-tu localisé l'angle alpha, demi-angle au sommet du cône ?
    Vois-tu le triangle qui permet d'écrire que tan(alpha) = R/(x+r) ?
    Vois-tu le triangle qui permet d'écrire que sin(alpha) = r/x ?

    Ensuite il faut utiliser la relation classique : tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha)
    et aussi le fait que sin²(alpha) + cos²(alpha) = 1

    Quand tu éléves les 2 équations ci-dessus au carré, tu vois qu'on peut éliminer alpha et ça donne assez facilement que
    R² = r² (x+r)/(x-r)
    Ensuite calculer le volume du cône : ça vaut 1/3 pi R² (x+r) car (x+r) est la hauteur.
    Et ça donne la formule de l'énoncé. Il faut alors calculer le minimum de cette expression via la dérivée.

    Tout ça repose d'abord sur une figure impeccable.

  28. #23
    antoninelghozi

    Re : Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

    Excusez moi de déterrer ce post vieux de 4 ans. Mais je suis confronté au même exo et j'implore votre aide pour le calcul du minimum de l'expression via la dérivée :S

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