Besoin d'aide pour exercice sur les compelxes.

[invite0c5534f5]

Salut,

J'aimerais que vous m'aidiez pour quelques questions sur les complexes:

1)Soit un nombre complexe de la forme algébrique a + ib. Soit
Développer et vérifier que D(z) est une polynôme à coefficients réels.

J'ai trouvé
C'est juste?

2)On pose
Montrer que si un complexe est solution de l'équation P(z)=0, il en est de même des complexes et

Bon alors là j'ai essayé de poser et de développer pour voir si je trouvais la même chose avec et mais ça marche pas et je verrais pas pourquoi l'un implique l'autre...

3)Calculer P(1+i) En déduire quatre solutions de l'équation P(z)=0
J'ia trouvé P(1+i)=-11+3i c'est juste?
Par contre je vois pas ce qu'on peut en déduire...

4)En utilisant les questions 1 et 3, écrire P(z) sous forme d'un produit de deux polynômes du deuxième degré à coefficient réels.

Heu déjà quel rapport avec P(z) et Q(z)?
Ce n'est pas possible de déduire uniquement de la question 3? vu qu'on a les quatres solutions il suffit de faire:
Non?


Un deuxième exercice:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u,v)
On note A le point d'affixe i.
A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe la point M', d'affixe

1)a)Déterminer les points M tels que l'on ait M=M'

M=M' ça veut rien dire. ils veulent pas plutôt dire déterminer l'affixe des points M tels que l'on ait affixe de M= affixe de M'?
Si oui alors:

<=>
Donc il faut que les points M aient l'affixe
juste?

b)Déterminer le point B' associé au point B d'affixe 1; déterminer le point C tel que le point associé C' ait pour affixe 2

B' a pour affixe
C a pour affixe
Correct?

2) Etant donné un nombre complexe z, disctinct de i, on pose z=x +iy et z'=x'+iy' avec x,x',y,y' des réels.
a)Déterminer x' et y' en fonction de x et y



Correct?

b)Déterminer l'ensemble des points M, distincts de A, pour lesquels z' est réel.
Il faut que iz € R
iz=ix-y donc il faut que x=0
Et il faut que z-i € R
z-i=x+iy-i donc il faut que y=1
des points M d'affixe z=i. Donc c'est pas ça....

3)a) Soit z un nombre complxex différent de i
a)Montrer que lon a
Je vois pas du tout...

b)On suppose que M; d'affixe z, appartient au cerlce de centre A et de rayon 1. Montrer que M' appartient à .

Je verrais plus tard.



Voila, merci pour votre aide.
-----

[invitea3eb043e]

Pour la première question, essaie d'imaginer que alpha est un nombre réel a et tu verras quelque chose de bizarre dans ta réponse.
Pour le second, si z0 est racine d'une équation à coefficients réels, son conjugué aussi, c'est dans le cours normalement.
Pour 1/z0, tu devrais remarquer quelque chose de spécial dans les coefficients (lis le polynôme à l'envers et tu verras).

[invite0c5534f5]

Pour la première question, essaie d'imaginer que alpha est un nombre réel a et tu verras quelque chose de bizarre dans ta réponse.

?
alpha est un nombre réel.

Pour le second, si z0 est racine d'une équation à coefficients réels, son conjugué aussi, c'est dans le cours normalement.

Alors mon cours n'est pas normal

Pour 1/z0, tu devrais remarquer quelque chose de spécial dans les coefficients (lis le polynôme à l'envers et tu verras).

je remarque rien.

[invitea3eb043e]

Première fois que je vois que (z-a)² = z² - az + a²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

2)On pose
Montrer que si un complexe est solution de l'équation P(z)=0, il en est de même des complexes et

Bon alors là j'ai essayé de poser et de développer pour voir si je trouvais la même chose avec et mais ça marche pas et je verrais pas pourquoi l'un implique l'autre...

La belle méthode "rassurante" qui ne marche presque jamais.
Tu pars de et en utilisant uniquement les propriétés de la conjugaison tu essaies d'aboutir à . Maintenant, le conjugué de 0 est 0. Je te laisse conclure.
Maintenant, tu pars de P(1/z₀) et tu essaies d'aboutir à une expression (moins simple que précédemment mais rien de méchant) où apparaît P(z₀).

3)Calculer P(1+i) En déduire quatre solutions de l'équation P(z)=0
J'ia trouvé P(1+i)=-11+3i c'est juste?
Par contre je vois pas ce qu'on peut en déduire...

Un minimum de réflexion du type "où veux m'emmener ce sujet" et en voyant En déduire quatre solutions de l'équation P(z)=0 je n'ai besoin d'aucun cacul pour n'avoir aucun doute sur la valeur de P(1+i) et savoir que la ta réponse est fausse.
Evidemment dans ta copie il faudra bien exposer les calculs qui le montrent.

4)En utilisant les questions 1 et 3, écrire P(z) sous forme d'un produit de deux polynômes du deuxième degré à coefficient réels.

Heu déjà quel rapport avec P(z) et Q(z)?
Ce n'est pas possible de déduire uniquement de la question 3? vu qu'on a les quatres solutions il suffit de faire:
Non?

Si tu choisis z1, z2, z3, z4 n'importe comment qu'est-ce qui t'assure que les coefficients seront réels ?

[invite0c5534f5]

Vu que tu n'as pas fait d'allusion à la première question j'en déduis que j'ai juste?

La belle méthode "rassurante" qui ne marche presque jamais.
Tu pars de et en utilisant uniquement les propriétés de la conjugaison tu essaies d'aboutir à . Maintenant, le conjugué de 0 est 0. Je te laisse conclure.

Alors,
On sait que
Donc
D'où
=> ?

Maintenant, tu pars de P(1/z₀) et tu essaies d'aboutir à une expression (moins simple que précédemment mais rien de méchant) où apparaît P(z₀).

Ben il suffit de remplacer par et on trouve P(Z₀) mais avec des exposants négatifs, et je vois pas ce qu'on peut faire après...

Un minimum de réflexion du type "où veux m'emmener ce sujet" et en voyant En déduire quatre solutions de l'équation P(z)=0 je n'ai besoin d'aucun cacul pour n'avoir aucun doute sur la valeur de P(1+i) et savoir que la ta réponse est fausse.
Evidemment dans ta copie il faudra bien exposer les calculs qui le montrent.

Bon effectivement j'ai pas été très intelligent pour le coup.
P(1+i)=0
Donc 1+i, 1-i et 1/2-1/2i sont solutions.
Mais où est la quatrième?
1/2+1/2i ? Donc il faut démontrer que est aussi solution?

Si tu choisis z1, z2, z3, z4 n'importe comment qu'est-ce qui t'assure que les coefficients seront réels ?

On pose z1=1+i

Donc
Et d'après 1), et sont des polynômes à coefficients réels donc leur produit aussi (pourquoi? )

[invitea3eb043e]

Vu que tu n'as pas fait d'allusion à la première question j'en déduis que j'ai juste?

Ben, non, justement...

[invite0c5534f5]

Faut de frappe,
Il fallait lire
(voila pourquoi je comprenais pas ce que tu m'avais dit.)

[invite35452583]

Vu que tu n'as pas fait d'allusion à la première question j'en déduis que j'ai juste?

Non il faut en déduire que je n'ai rien à ajouter aux remarques de Jean-Paul.

Alors,
On sait que
Donc
D'où
=> ?

OK, rien à redire.

Ben il suffit de remplacer par et on trouve P(Z₀) mais avec des exposants négatifs, et je vois pas ce qu'on peut faire après...

Mettre z₀^-4 en facteur par exemple.

P(1+i)=0
Donc 1+i, 1-i et 1/2-1/2i sont solutions.
Mais où est la quatrième?
1/2+1/2i ? Donc il faut démontrer que est aussi solution?

Certes mais n'est-ce pas une conséquence de 2) ?

On pose z1=1+i

Donc
Et d'après 1), et sont des polynômes à coefficients réels donc leur produit aussi (pourquoi? )

Oh pour rien
Bien pour cette dernière partie.

[invite0c5534f5]

Non il faut en déduire que je n'ai rien à ajouter aux remarques de Jean-Paul.

Faute de frappe.

Mettre z₀^-4 en facteur par exemple.

?

Certes mais n'est-ce pas une conséquence de 2) ?

Dans mon cours on a bien vu que les polynômes complexes du second degré pouvait avoir deux solutions dont l'une est la conjuguée de l'autre.
Mais je ne suis pas censé savoir qu'il en est de même pour du degré quatre.

[invite35452583]

Faute de frappe.

Ah, OK

?

Si tu as montré proprement que P(1/z₀)=z₀^-1P(z₀) alors oui.
Si tu te contentes d'écrire cela alors non car c'est faux en général (et là je te renvoies à la dernière ligne du 1er post de Jean-Paul)

Dans mon cours on a bien vu que les polynômes complexes du second degré pouvait avoir deux solutions dont l'une est la conjuguée de l'autre.
Mais je ne suis pas censé savoir qu'il en est de même pour du degré quatre.

Ici je n'entends pas une référence au cours mais à ceci :
au 2) tu as montré que si z est racine alors est aussi racine, 1/z est aussi racine et que dire alors du conjugué de cette nouvelle racine ? Ou alors que dire de l'inverse du conjugué de z ?

[invite0c5534f5]

Si tu as montré proprement que P(1/z₀)=z₀^-1P(z₀) alors oui.
Si tu te contentes d'écrire cela alors non car c'est faux en général (et là je te renvoies à la dernière ligne du 1er post de Jean-Paul)

Oui j'ai fait les calculs, comme pour toutes les questions, mais trop long à tout écrire.
Mais t'as fait une faute de frappe, c'est P(1/z₀)=z₀^-4P(z₀) et pas P(1/z₀)=z₀^-1P(z₀), non?

Ici je n'entends pas une référence au cours mais à ceci :
au 2) tu as montré que si z est racine alors est aussi racine, 1/z est aussi racine et que dire alors du conjugué de cette nouvelle racine ? Ou alors que dire de l'inverse du conjugué de z ?

Heu je vois pas du tout...

[invite35452583]

Oui j'ai fait les calculs, comme pour toutes les questions, mais trop long à tout écrire.

Alors OK

Mais t'as fait une faute de frappe, c'est P(1/z₀)=z₀^-4P(z₀) et pas P(1/z₀)=z₀^-1P(z₀), non?

Non, c'est la touche 1 de mon clavier qui a subrepticement pris la place du 4, voyons.
Autre version : c'était pour savoir si tu suivais

Pour la dernière question. 1/z₀ est une racine de P, or tu as montré que si un complexe Z₀ est une racine de P alors est aussi une racine de P.
Donc, one again, que peux-tu dire de

[invite0c5534f5]

Tu veux me faire dire que si 1/z0 est une racine alors sont conjugué aussi?
Je vois pas pourquoi mais bon.

[invite35452583]

Tu veux me faire dire que si 1/z0 est une racine alors sont conjugué aussi?

Je vois pas pourquoi mais bon.

Pourtant tout est dit.
Tu as montré au 2) que si z₀ est racine de P alors son conjugué aussi.
Mais ceci est vrai pour n'importe quel racine de P y compris pour la racine 1/z₀.
Si z0 est racine de P, sont toutes des racines de P. Tu peux en outre vérifier que si tu prends le conjugué de ces 4 racines tu retombes sur les 4 même racines, idem si tu prends l'inverse de chacune de ces 4 racines.

[invite0c5534f5]

Ok,

La suite:

1)a)Déterminer les points M tels que l'on ait M=M'



Donc il n'y a qu'un point qui vérifie ça?

b)Déterminer le point B' associé au point B d'affixe 1; déterminer le point C tel que le point associé C' ait pour affixe 2

B' a pour affixe
C a pour affixe

2) Etant donné un nombre complexe z, disctinct de i, on pose z=x +iy et z'=x'+iy' avec x,x',y,y' des réels.
a)Déterminer x' et y' en fonction de x et y




Je m'arrête là pour l'instant, si c'est correct je continuerais.

[invite35452583]

1)a) il manqu'une solution (évidente en plus), celle donnée est bonne.
1)b) ça me semble bon
2)a) non tu dois avoir x'=truc où n'apparaît que du x et du y (en tant qu'indéterminée) et y' idem.