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Equation (cartésienne) d'un cercle.



  1. #1
    neokiller007

    Equation (cartésienne) d'un cercle.


    ------

    Salut,

    Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C(a,b) et de rayon r est :
    (x − a)² + (y − b)² = r²

    Mais je croyais que x ne pouvait avoir qu'une image, alors comment est-ce possible?
    Et comment trouve-t-on cette équation? (démonstration)

    Merci.

    -----

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  3. #2
    Cassano

    Re : équation (cartésienne) d'un cercle.

    Mais x n'a qu'une image sur sa droite, tout y sur la sienne. La combinaison des deux forme un cercle! Ce n'est pas la représentation d'une fonction, tu peux donc avoir des "retours" sur ton plan,un peu comme pour une courbe paramétrée

  4. #3
    neokiller007

    Re : équation (cartésienne) d'un cercle.

    J'ai pas compris "Mais x n'a qu'une image sur sa droite, tout y sur la sienne"
    "La combinaison des deux forme un cercle!" des deux quoi?
    Et pourquoi ce n'est pas une fonction?

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Une fonction c'est "à un truc donné j'associe au plus un autre truc"

    Supposons que tu as ici une fonction y=f(x). Tu vois bien qu'il y a a deux y qui correspondent à un x sur le cercle. De même si tu avais essayé d'écrire x=g(y) à un y donné correspond 2 x.

    Donc ton cercle n'est pas la représentation graphique d'une fonction "classique", du moins pas dans son écriture en x et y. Ce que voulait dire Cassano c'est que tu dois voir l'équation du cercle comme une relation qui porte sur le couple (x,y)


    Si tu veux voir le cercle comme représentatif d'une fonction, il faut que tu passes en représentation paramétrique du cercle.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  7. #5
    Cassano

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Oui, désolé, j'ai un peu oublié un "comme" dans la phrase "tout y sur sa droite".

  8. #6
    neokiller007

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Mais pourtant on peut transformer cette équation pour la mettre sour la forme y=quelquechose. Et ça c'est une fonction.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Mais pourtant on peut transformer cette équation pour la mettre sour la forme y=quelquechose. Et ça c'est une fonction.
    Non, essaye et tu vas voir que tu n'y arriveras jamais
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  11. #8
    neokiller007

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Pour faire plus simple on va prendre l'équation du cercle unité: x² + y² = 1.
    x² + y² = 1<=>y²=1-x²<=>y=sqrt(1-x²) et y=-sqrt(1-x²) x€[0;1]

  12. #9
    God's Breath

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Pour faire plus simple on va prendre l'équation du cercle unité: x2 + y2 = 1.
    x2 + y2 = 1<=>y2=1-x2<=>y=sqrt(1-x2) et y=-sqrt(1-x2) x€[0;1]
    Si je compte bien, avec et , on obtient deux fonctions...

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    D'abord tu as faux,

    x² + y² = 1<=>y²=1-x²<=>y=sqrt(1-x²) et y=-sqrt(1-x²) x€[0;1]
    Ce n'est pas ET, mais OU.

    Ensuite où vois-tu une fonction dans tout ça ? Je te rappelle : à un x donné ne peux exister qu'au mieux UN et UN SEUL y=f(x) donné !

    EDIT : je vois que God's Breath et moi savons compter jusqu'à 2, c'est pas mal
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    God's Breath

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Pour revenir au cas général :
    chacune des fonctions et est définie sur l'intervalle et a pour graphe un demi-cerle, la réunion de ces deux demi-cercles étant un cercle complet, dont l'équation est

  15. #12
    neokiller007

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Bon admettons.
    Donc ça voudrait dire qu'une fonction est une équation et que certaines équations sont des fonctions
    On peut représenter une fonction par un ensemble de points dans le plan l'espace etc..
    Et il en est de même pour les équations?

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Bon admettons.
    Tu ne m'as pas l'air convaincu du tout, pourtant c'est fondamental ! Qu'est-ce qui te bloque ?

    Donc ça voudrait dire qu'une fonction est une équation et que certaines équations sont des fonctions
    Pas du tout, tu fais une énorme confusion !

    Une fonction c'est un objet mathématique qui à un truc pris dans un ensemble associe un bidule dans un autre ensemble (qui peut être le même que le premier, mais pas forcément)

    Tu peux ensuite représenter cette action par une équation certes, mais :

    _ d'une part ce n'est pas toujours possible

    _ d'autre part "représenter" et "être" sont deux choses distinctes !

    On peut représenter une fonction par un ensemble de points dans le plan l'espace etc..
    Et il en est de même pour les équations?
    Là par contre tu dis bien les choses. Représenter une fonction par un dessin c'est associer à une fonction ce que l'on appelle un graphe ; on peut aussi associer à une équation un dessin en effet.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    neokiller007

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Tu ne m'as pas l'air convaincu du tout, pourtant c'est fondamental ! Qu'est-ce qui te bloque ?
    Parce que pour moi une équation c'est purement arithmétique je vois pas pourquoi on peut en tirer un objet géométrique.


    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Pas du tout, tu fais une énorme confusion !

    Une fonction c'est un objet mathématique qui à un truc pris dans un ensemble associe un bidule dans un autre ensemble (qui peut être le même que le premier, mais pas forcément)
    On est d'accord

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Tu peux ensuite représenter cette action par une équation certes, mais :

    _ d'une part ce n'est pas toujours possible

    _ d'autre part "représenter" et "être" sont deux choses distinctes !
    Un contre exemple pour le premier point?
    Tu peux expliciter un peu plus le deuxième point?

  19. #15
    God's Breath

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    contre exemple pour le premier point?
    A tout réel , on associe l'unique réel tel que .

    On définit ainsi une fonction de dans lui-même, mais il n'existe aucune formule de type algébrique permettant de calculer la valeur de à partir de la valeur de .

  20. #16
    Gwyddon

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Parce que pour moi une équation c'est purement arithmétique je vois pas pourquoi on peut en tirer un objet géométrique.
    D'abord c'est algébrique, pas arithmétique

    Ensuite je suis étonné que tu poses cette question puisque tu as sûrement du voir en 3e les équations de droites. Représenter une équation par un dessin c'est faire de la géométrie algébrique : tu assignes un repère au plan (ou à l'espace), et chaque point de ton plan (de ton espace) a maintenant un couple (ou un triplet) de nombres qui définit ses coordonnées dans le repère que tu as choisi.

    Muni de ce repère, tu peux commencer à représenter géométriquement des équations, sachant que fondamentalement une équation c'est une relation entre nombres.


    Un contre exemple pour le premier point?
    Tu peux expliciter un peu plus le deuxième point?
    Prend l'ensemble E = {patate ; crayon ; maison ; clown}

    Prend l'ensemble F = {camembert ; lunette ; gwyddon ; guidon ; chat}

    soit la fonction f de E dans F qui est telle que :

    à patate j'associe camembert
    à clown j'associe gwyddon
    à maison j'associe chat
    à crayon je n'associe rien du tout


    f est une fonction, quelle équation je peux utiliser ici pour représenter f ?1

    Est-ce que f EST une équation ?


    _____________________
    1 je me rend compte en effet que tu pourras trouver un ensemble d'éqations pour faire cette représentation, mais cet ensemble nécessite que tu définisses ce que signifiera ton symbole d'égalité, et tous tes autres symboles


    EDIT : l'exemble de God est encore meilleur
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    neokiller007

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Ca existe f(x)="un truc avec des y" ????

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    D'abord c'est algébrique, pas arithmétique

    Ensuite je suis étonné que tu poses cette question puisque tu as sûrement du voir en 3e les équations de droites. Représenter une équation par un dessin c'est faire de la géométrie algébrique : tu assignes un repère au plan (ou à l'espace), et chaque point de ton plan (de ton espace) a maintenant un couple (ou un triplet) de nombres qui définit ses coordonnées dans le repère que tu as choisi.

    Muni de ce repère, tu peux commencer à représenter géométriquement des équations, sachant que fondamentalement une équation c'est une relation entre nombres.
    Pour moi équation de droite = fonction affine. Non?
    Et donc de là je me dis f(x)=y puisque y=ax+b et f(x)=ax+b

  22. #18
    mathanne

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    le cercle de centre C(a,b) et de rayon r est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifiant la relation (x-a)²+(y-b)²=r²

    la courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient la relation y= f(x), avec (x appartenant à l'ens de définition de la fonction)

    dans les 2 cas, il s'agit d'ensembles de points dont les coordonnées vérifient une égalité

    prenons le cercle de centre O et de rayon 1, son éq cartésienne est x²+y²=1, pour en faire un graphique de fonction, il faudrait y = ... ce qui équivaut à y²=1 -x² soit y = rac(1-x²) soit y=- rac(1-x²), on peut alors voir le cercle comme réunion de 2 graphiques de fonctions

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  24. #19
    rajamia

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Salut,


    Et comment trouve-t-on cette équation? (démonstration)

    Merci.
    salut.

    un cercle de centre et de rayon est un ensemble des points du plan qui vérifie . or on sait que la distance et
    donc

    et par suite l'ensemble des point qui vérifie



    est un cercle.
    Dernière modification par rajamia ; 29/01/2008 à 19h44.

  25. #20
    mathanne

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    normalement, pour montrer l'égalité de 2 ensembles, on doit montrer "la double inclusion", (A C B et B C A) elle n'est pas nécessaire ici?
    merci de m'éclairer

  26. #21
    rajamia

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Citation Envoyé par mathanne Voir le message
    normalement, pour montrer l'égalité de 2 ensembles, on doit montrer "la double inclusion", (A C B et B C A) elle n'est pas nécessaire ici?
    merci de m'éclairer
    c'est la même chose. si tu poses
    et .

    on montre que . On procède par équivalence même.

  27. #22
    mathanne

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    merci. mais est-ce que tu connais des cas ou la double équivalence est nécessaire pour montrer l'égalité des 2 ensembles? (je crois qu'on en rencontre dans la recherche de lieux de points...)

  28. #23
    rajamia

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    hmmmmmmmm ça existe sûrement mais pour l'instant pas dans ma tête , et d'ailleurs ça dépend de la situation qu'on a.

  29. #24
    Forhaia

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    Je ne sais pas si c'est ce que tu cherches, mais par exemple pour démontrer que la droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B:

    on montre d'une part que si G est de baryventre de (A,a);(B,b) alors G appartient à (AB)
    et d'autre part que si M est un point de (AB) alors M on peut trouver a et b tels que M soit le barycentre de (A,a);(B,b)

    Est ce que ça répond à ta question?

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  31. #25
    cosinus01

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    bonjour, j'ai un peu de mal pour un exercice :

    on considère les points A(3;1) et B(4;3).
    1) Ecrire une équation du cercle S de centre A et de rayon 5.
    2) Soit C le point de coordonnées (1;-3)
    a)Déterminer une équation de l'ensemble E des points M du plan tels que MA²+MC²=50
    b) Déterminer cet ensemble et le tracer.
    c) Déterminer les points d'intersection de E et S.



    Voilà je n'ai toruvé que la 1er question mais je ne sais pas si c'est juste... j'ai trouvé que x²-6x+y²-2y-15=0 est une équation cartésienne du cercle S de centre A et de rayon 5.


    aidez moi vite svp merci d'avance

  32. #26
    godzylla

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.

    c'est pythagore qui avais dit cela avec thales(le mathematicien, pas l'entreprise), qui l'avais eut des égyptiens: x² + y² = 1.
    après il y a eut wallis qui a retrouvé comment dessiner une courbe qui ressemble à un quart de cercle avec y=(1-x²)h/2
    http://www.math.uha.fr/Pi/Wallis.html

    ensuite il y a Descartes, newton et Leibniz qui faisaient de la physique et cherchaient un langage pour noter les mouvement d'ou l'invention du repère cartésien.

  33. #27
    godzylla

    Re : Equation (cartésienne) d'un cercle.


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