Compréhension de la notion de primitive et derivée

[invited02fbe76]

Boujour je n'arrive pas a comprendre le lien entre derivé et primitive (ok c l'inverse)
je defini les deux ainsi:

° la primitive represente l'expression de l'aire entre la courbe (dont on effectue la primitive) et l'axe des x de 0 au point d'abscisse x en fonction de x.

°la dérivé represente l'exprésion de la pente de la droite tangente a la courbe (dont on effectue la dérivée) au point d'abscisse x en fonction de x.

Je ne comprend pas comment ces deux operation peuve etre l'inverse l'une de l'autre.
Merce de m'indiquer si ma vision des chose et erronée ou alors d'elargir mon champs de vision.
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[invite1237a629]

Plop,

° la primitive represente l'expression de l'aire entre la courbe (dont on effectue la primitive) et l'axe des x de 0 au point d'abscisse x en fonction de x.

Pas vraiment. Il manque un ptit point, c'est que pour la primitive, c'est l'aire limitée par la courbe, l'axe des abscisses, la droite x=0 et la droite x=x.

Pour essayer d'être plus claire... Tu sais que l'intégrale de a à b d'une fonction f correspond à l'aire située entre la courbe, l'axe des abscisses, la droite x=a et la droite x=b.

La primitive, c'est une intégrale de 0 à x.

Par contre, le lien entre primitive et dérivée, j'sais pas dire

[invited02fbe76]

° la primitive represente l'expression de l'aire entre la courbe (dont on effectue la primitive) et l'axe des x de 0 au point d'abscisse x en fonction de x.

je transforme en:

la primitive represente l'expression de l'aire entre la courbe (dont on effectue la primitive) , l'axe des x de 0 au point d'abscisse x et la droite x=0 en fonction de x

mais c'était que je partait du principe que ma courbe passais par le point (0,0)

[invite9c9b9968]

Hello,

Pour comprendre ce lien avec ta définition, il faudrait en revenir à la définition de l'intégrale au sens de Riemann, comme limite d'une aire quand on prend le pas de parcours de l'axe des abscisses tendant vers zéro.

Ainsi tu peux démontrer que la fonction que tu définis ainsi a pour dérivée la fonction que tu intègres. Désolé je ne vois pas pour l'instant d'autre explication, je doute que ça te convienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited02fbe76]

la définition de l'intégrale au sens de Riemann ne m'est pas inconnue et je constate effectivement algebriquement que c exacte mais mon intuition n'embraye pas du tous...

[invited02fbe76]

donc personne ne connait le lien entre pente d'une droite et aire sous la courbe?

[invited02fbe76]

Je vai remettre ma question clairement car je pense que je ne suis pas tres clair.

Riemann a-t-il cercher a effectuer l'opération inverse de la dérivation?
si oui par quel cheminement intellectuelle est-il arrivé a devoir calculer une aire?

[invite9c9b9968]

Riemann a-t-il cercher a effectuer l'opération inverse de la dérivation?

Non, il cherchait à représenter des aires (enfin je crois )

[Vladzol]

Salut rapasite,

je vais y aller de ma petite popote sur le lien entre primitive et dérivée.

Je définis une fonction f, dérivée de la fonction F.

Je vais observer le lien géométrique entre les deux dans deux sens:

De f vers F:

Le théorème de Riemann a déjà été cité. Géométriquement tu prends la courbe représentative de f, tu fais des rectangles en dessous (pour simplifier ), tu fais décroitre leur largeur (qu'on lit sur l'axe des x) jusqu'à la rendre "infiniment petite", on l'appelle alors dx, et en faisant la somme de l'aire de ces rectangles (l'aire de chacun de ces rectangles est égale à f(x) fois dx, soit la longueur du rectangle par sa largeur) tu obtiens l'expression d'une intégrale, et la valeur de l'aire sous ta courbe (d'ailleurs le sigle "intégrale" est une déformation du S de Somme).

On définit alors une primitive F comme une fonction telle que l'aire sous la courbe de f entre x=a et x=b soit égale à F(b)-F(a). On notera que comme on fait une soustraction, rajouter une constante à F ne change rien, puisqu'elle va s'annuler à la soustraction, on a donc une infinité de primitives possibles (F(x)+C, F(x)+D, F(x)+5,00004567,...).

De F vers f:

Maintenant on prend notre fonction F (on en choisit une parmi toutes).

Géométriquement, à quoi est égal F(b)-F(a)?

Je prend ma courbe représentative de F, je reporte sur la l'axe des ordonnées les valeurs de F(a) et de F(b) et je constate un écart (qui peut être nul d'ailleurs). Mais quel est le rapport entre cet écart et la pente de la courbe en chacun de ses points?

Qu'est ce qu'une pente? Si en un point x=c, la pente de la courbe de F est égale à 2, cela signifie que quand x=c+dx (dx étant une toute petite variation de x), alors F(c+dx)=F(c)+2dx. Cela signifie que lorsque x varie d'une quantité quelconque autour de c, alors F(x) varie de deux fois cette quantité.

Donc si je veux savoir de combien varie F entre a et b, cad si je veux savoir combien vaut F(b)-F(a) qu'est ce que je peux faire? Tout simplement additionner les variations de F pour chaque petit intervalle dx entre a et b. Pour ce faire, je fais la somme de la pente fois dx, pour chaque x entre a et b.

On a donc montré que F(b)-F(a) est égal à la fois à l'aire sous la courbe de f entre a et b (cad la somme de f(x) fois dx entre a et b), et à la somme des pentes de F fois dx entre a et b (cad la somme pour tout x entre a et b, de la valeur de la fonction qui donne la pente de F en tout point x, cad f, fois dx). On a dans les deux cas une somme de f(x)dx pour tout x entre a et b, ces deux fonctions (celle dont on donne l'aire sous la courbe, celle qui donne la pente de F) n'en font qu'une.

J'espère avoir été assez clair (on me dit à côté de moi que non).

[invited02fbe76]

Merci beaucoup c exactement se qu'il me fallait.

[Vladzol]

Merci beaucoup c exactement se qu'il me fallait.

C'est vrai? Tant mieux.

Si tu veux des précisions sur ce que j'ai écrit, surtout n'hésite pas (je me suis aperçu après coup que j'aurais pu un peu mieux présenter certains trucs).