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Représentation et compréhension d'une dérivée



  1. #1
    jeanmi66

    Représentation et compréhension d'une dérivée


    ------

    Bonjour,

    mon problème se situe au niveau de l'interprétation dans mon esprit des dérivées.

    En physique, il est très facile de comprendre une dérivée, ne serait-ce que grâce aux accélérations. On parle alors des dérivées comme des "variations" de valeurs.

    En math, j'ai plus de mal. Un polynôme de degré 2 aura comme dérivée au droite simple. Je crois que je n'arrive pas à comprendre car ça n'a pas d'impact "physique" réel, comme les accélérations.

    J'ai bien lu la définition :
    f est dérivable en x0 lorsque la fonction h... admet une limite finie A quand h tend vers 0. On note A=f'(x0)

    D'accord, mais bon. En fait, ça ne m'aide pas à me représenter ce que représente une dérivée. J'ai même du mal à exprimer mon soucis.

    Je sais pas si quelqu'un pourra m'aider en me donnant une explication plus concrète ou plus compréhensible.

    Merci d'avance.

    -----
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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  3. #2
    fderwelt

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Citation Envoyé par jeanmi66
    Bonjour,

    mon problème se situe au niveau de l'interprétation dans mon esprit des dérivées.

    En physique, il est très facile de comprendre une dérivée, ne serait-ce que grâce aux accélérations. On parle alors des dérivées comme des "variations" de valeurs.

    En math, j'ai plus de mal. Un polynôme de degré 2 aura comme dérivée au droite simple. Je crois que je n'arrive pas à comprendre car ça n'a pas d'impact "physique" réel, comme les accélérations.

    J'ai bien lu la définition :
    f est dérivable en x0 lorsque la fonction h... admet une limite finie A quand h tend vers 0. On note A=f'(x0)

    D'accord, mais bon. En fait, ça ne m'aide pas à me représenter ce que représente une dérivée. J'ai même du mal à exprimer mon soucis.

    Je sais pas si quelqu'un pourra m'aider en me donnant une explication plus concrète ou plus compréhensible.

    Merci d'avance.
    Bonsoir,

    Eh bien, je pense que le mieux est que tu gardes ta vision "physique" de la dérivée.

    Si un point seéplace à accélération constante, disons a, sa vitesse est bien linéaire en fonction du temps, v = at + v0? et donc sa position quadratique, x = (1/2)at² + vt + x0, non?

    Eh bien, tu continues... Si l'accélération est linéaire en fonction du temps, tu finiras par avoir pour la position x un polynôme du 3ème degré, et ainsi de suite...

    Mais c'est vrai que la définition de la dérivée avec lim(h->0) est assez peu naturelle. C'est pourquoi je te conseille de penser qu'il s'agit bel et bien d'une "variation", charge à toi de rendre compatibles les deux définitions... Je ne peux que te conseiller de tracer les courbes correspondant aux cas les plus simples et leurs tangentes, c'est vraiment très instructif!!!

    -- françois

  4. #3
    lolouki

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    C vrai que a part dire que la dérivée represente les variations de la courbe ..
    Pour moi le plus dur c'était de faire la difference entre la dérivée positive et la dérivée croissante ...

    Mais ca c'est une autre histoire

  5. #4
    fderwelt

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Citation Envoyé par lolouki
    C vrai que a part dire que la dérivée represente les variations de la courbe ..
    Pour moi le plus dur c'était de faire la difference entre la dérivée positive et la dérivée croissante ...

    Mais ca c'est une autre histoire
    Si la dérivée est positive, ça veut dire que les variations sont positives, donc que la courbe est croissante. Continue à représenter tout ça sur la courbe de la fonction!!! Un jour, ça t'aidera à comprendre la Topologie, les dérivées partielles, etc. (Je pourrais citer aux moins dix personnes sur ce Forum qui seraient prêtes à m'étriper pour avoir dit des choses pareilles -- remember Galileo!)

    -- françois

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    pgeod

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    une manière un peu concrête de se représenter la valeur de la dérivée en un point, est d'utiliser cette valeur pour tracer graphiquement la tangente à la courbe. On peut se dire également que la droite tangente ainsi obtenue représente également la direction du vecteur vitesse le long de la courbe.

  8. #6
    mtheory

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Citation Envoyé par jeanmi66
    Bonjour,

    mon problème se situe au niveau de l'interprétation dans mon esprit des dérivées.

    En physique, il est très facile de comprendre une dérivée, ne serait-ce que grâce aux accélérations. On parle alors des dérivées comme des "variations" de valeurs.

    En math, j'ai plus de mal. Un polynôme de degré 2 aura comme dérivée au droite simple. Je crois que je n'arrive pas à comprendre car ça n'a pas d'impact "physique" réel, comme les accélérations.

    J'ai bien lu la définition :
    f est dérivable en x0 lorsque la fonction h... admet une limite finie A quand h tend vers 0. On note A=f'(x0)

    D'accord, mais bon. En fait, ça ne m'aide pas à me représenter ce que représente une dérivée. J'ai même du mal à exprimer mon soucis.

    Je sais pas si quelqu'un pourra m'aider en me donnant une explication plus concrète ou plus compréhensible.

    Merci d'avance.
    Salut!
    A l'origine les dérivées étaient le moyen de trouver le coeffiscient a de la droite ax+b tangente à la courbe f(x) en x
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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  10. #7
    fderwelt

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Citation Envoyé par pgeod
    une manière un peu concrête de se représenter la valeur de la dérivée en un point, est d'utiliser cette valeur pour tracer graphiquement la tangente à la courbe. On peut se dire également que la droite tangente ainsi obtenue représente également la direction du vecteur vitesse le long de la courbe.
    Le gras souligné, c'est moi qui l'ai ajouté. On n'insistera jamais assez là-dessus.

    Le jour où jeanmi66 aura une fonction f(x,y) de deux variables (et jusqu'à nouvel ordre, le temps n'a qu'une seule dimension) il verra par cette interprétation ce qu'est un plan tangent. Et que la déf. avec lim{h->0} n'est qu'un cas très particulier. Mais néanmoins très intuitif.

    -- françois

  11. #8
    PopolAuQuébec

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Salut,

    Je ne suis pas un spécialiste en mathématiques (mon truc c'est plutôt la physique) alors j'espère que je ne dirai pas d'idiotie...
    La meilleure représentation intuitive que je connaisse de la dérivée d'une fonction f(x) est la suivante.

    Premièrement je me représente la fonction f(x) comme une courbe dans un espace à deux dimensions: x est portée sur l'axe des x et f(x) sur l'axe des y.
    Deuxièmement, lorsque qu'une fonction f(x) est dérivable, la courbe introduite ci-haut peut être représentée approximativement par une succession de segments de droite, l'approximation étant d'autant meilleure que la longueur des segments est prise petite.
    Enfin, la dérivée de f(x) en un point x0 est "simplement" le "taux d'inclinaison" du segment se situant en ce point.

    En résumé, la représentation intuitive que je me fais de la dérivée est basée sur une représentation géométrique des fonctions mathématiques (ce qui donne à la fonction un aspect un peu plus concret)

    Bonne journée !

  12. #9
    martini_bird

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Salut,

    puisque celà n'a pas été mentionné, une façon de voir la dérivée en maths, c'est en tant que "troncature linéaire"*. On est bien évidemment pas loin de l'interprétation géométrique en terme de tangente ou de plan tangent.

    Cordialement.

    * En écrivant f(x+h)=f(x)+h.dxf(h)+o(h)
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #10
    fderwelt

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec
    Salut,

    Je ne suis pas un spécialiste en mathématiques (mon truc c'est plutôt la physique) alors j'espère que je ne dirai pas d'idiotie...
    La meilleure représentation intuitive que je connaisse de la dérivée d'une fonction f(x) est la suivante.

    Premièrement je me représente la fonction f(x) comme une courbe dans un espace à deux dimensions: x est portée sur l'axe des x et f(x) sur l'axe des y.
    Deuxièmement, lorsque qu'une fonction f(x) est dérivable, la courbe introduite ci-haut peut être représentée approximativement par une succession de segments de droite, l'approximation étant d'autant meilleure que la longueur des segments est prise petite.
    Enfin, la dérivée de f(x) en un point x0 est "simplement" le "taux d'inclinaison" du segment se situant en ce point.

    En résumé, la représentation intuitive que je me fais de la dérivée est basée sur une représentation géométrique des fonctions mathématiques (ce qui donne à la fonction un aspect un peu plus concret)

    Bonne journée !
    Bravo et Merci!

    A mon avis, il n'y a que les physiciens qui ont une vision claire de ce qu'est une dérivée.. et moi-même, je n'ai pu correctement aborder la théorie des opérateurs différentiels que lorsque j'ai eu cette "vision" géométrique limpide! et puis, juste après, j'ai abordé sereinement la cohomologie de De Rham, et depuis je n'ai plus arrêté...

    -- françois

  14. #11
    jeanmi66

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Merci à tous, je crois que j'y vois un peu plus clair maintenant !

    A+
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  15. #12
    mtheory

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Y-y0=f'(x0)(X-x0) ça te donne l'équation de la droite tangente en x0 à la courbe f(x0).

    Ex si f(x)=x2+4 alors f'(x)=2x.
    En x=o tu aura Y=4,qui est bien la droite horizontale tangente à ta parabole en ce point.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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  17. #13
    _Goel_

    Re : Représentation et compréhension d'une dérivée

    Pour faire simple (simpliste) :
    La dérivée d'une fonction est la vitesse à laquelle la courbe monte ou descend (dérivée négative)

    ex : si la dérivée est constante et positive, cela signifie que la courbe augmente toujours à la même vitesse (c'est une droite, dont l'inclinaison est proportionelle à la valeur de la dérivée)

    ex2 : si la dérivée est positive pour x<0, nulle en x=0 et négative en x>0. Cela signifie que la courbe "monte" quand x<0 et décroit quand x>0. Quand x=0, la courbe ne monte plus, et elle ne descent pas encore : sa dérivée est nulle (on a un "maximum", le "haut du pic"...).

    Nota : plus la dérivée est élevée, plus la courbe monte (ou descend) vite.

    Nota 2 : Explication mathématique dans les posts précédents
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

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