Bonjour,
je n'arrive pas a comprendre comment on fait pour vérifier si on a une relation d'équivalence si on a :
soit R une relation définie dans ZxZ* par :
(x,y)R(z,t) si et seulement si xt=yz
je comprend pas comme on démontre si c'est réflexive, symétique et transitive
Merci à l'avance
reflexive signifie : (x,y)R(x,y) <=> xy=xy c'est donc vrai
si (x,y)R(z,t) alors xt=yz => yz =xt => zy = tx => (z,t)R(x,y)
apres il faut motnrer que (x,y)R(z,t) et (z,t)R(u,v) =>
(x,y)R(u,v)
Ce que je en comprend pas c comment on arrive a (x,y)R(x,y) <=> xy=xy
je sais que pour le point il faut démontré qu'on couple (x,y) est en relation avec lui même, mais qu'est-ce qui nous permet de remplacer xt=yz par xy=xy
qu'elle est le principe derrière cela ?
on fait juste remplacer le (z,t) par (x,y) dans (x,y)R(z,t) puis dans xt=yz et on vérifie si c égaux vs si xy=yx <=> xy-yx = 0 ?
Salut, je crois que tu es en effet un peu perdu(e) mais que tu n'es pas loin de comprendre.
Ta relation c'est la chose suivante :
On dit que le couple (a,b) est en relation avec le couple (c,d) et on note (a,b) R (c,d) si l'égalité ad = bc est vérifiée.
Un exemple pour fixer les idées : les couples (5,2) et (10,4) sont en relation puisque 5*4 = 20 = 10*2.
Un autre exemple pour refixer les idées : les couples (3,5) et (4,8) ne sont pas en relation puisque 3*8=24 et 5*4=20, et que 24 est différent de 20.
Fort de ces exemples te voilà prêt(e) à affronter la notion de relation d'équivalence.
Il te faut vérifier que la relation est reflexive. Cela veut dire que, dès que tu te donnes un couple (a,b), il est en relation avec LUI-MEME. Essayons sur un exemple, avec le couple (3,5) par exemple. A-t-on (3,5) R (3,5) ? Oui car 3*5 = 5*3 !
Maintenant avec un couple quelconque que je note (a,b). A-t-on (a,b) R (a,b) ? Oui car a*b = b*a, c'est ridicule mais c'est la vie.
A toi de vérifier les autres propriétés : symétrie, transitivité.
ok, je crois être un peu moins perdu, j'ai cependant une autre question :
on me demande aussi, suite a la même question de base :
Donner une patition P de ZxZ* telle que chaque élément de P contient un et un seul élément (a,b) telque a et b sont premier entre eux (qu'ils n'ont aucune diviseur commun autre que -1 et 1)
c'est peut-être relier avec la classe d'équivalence, mais je ne voit pas comment donner des couples de nombres premiers ...
Bien, voilà une question qui n'est pas du tout inattendue vu le début de l'exercice.
Maintenant que tu as montré que ta relation est une relation d'équivalence, tu dois savoir qu'elle donne naissance à des classes d'équivalences. Ces classes d'équivalences sont des sous ensembles de ZxZ* qui le recouvre sans se toucher les unes les autres. On appelle cela une partition.
Maintenant résumons où tu en es :
- Tu as une relation d'équivalence, donc des classes d'équivalence, donc une partition de ZxZ*.
- La question suivante te demande de trouver une partition (...) de ZxZ* qui vérifie une certaine propriété ...
As tu une idée de la partition qui va répondre à la question ? Si oui as-tu une idée pour montrer que la partition en question vérifie la propriété demandée ?
