Problème avec la récurrrence

[invitef670bfbd]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je rencontre des difficultés. Pouvez -vous m'aider svp?
Voila l'énoncé:

Pour tout n appartenant a N*, on pose
u(n)= 1+1/2+1/3+...+1/n
v(n)= 1+ 1/2^2+...+1/n^2

1)a)demontrer que pour tout entier n non nul
U2n>Un+1/2
b)demontrer par recurence sur l'entier k non nul la proposition P(k)"il existe au moins un entier n indice k tel que Un indice k>k.
En déduire que la suite u est divergente.
2)a)Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul,Vn inferieur ou égal à 2-1/n
b) En deduire que la suite v est convergente

Les question qui me pose problème sont surtout les deux premières mais je vous ait mis tous l'énoncé. Aidez moi svp
Merci d'avance
-----

[Flyingsquirrel]

Salut

Pour la première question il faut exprimer U_2n en fonction de U_n puis minorer le terme qui correspond à U_2n-U_n.

[invite1237a629]

Plop,

Pour la deuxième question, tu peux lire ça : http://forums.futura-sciences.com/thread201832.html

Et pour la première question, une démonstration par récurrence devrait suffire ? =)

[invitef670bfbd]

merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
=1/2n
or n>1
donc 1/n<1
soit 1/2n<1/2

Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
pouvez vous me dire mon erreur svp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee9560705]

Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....

[invitead465ff2]

n>1 on multiplie par 1/2=>n/2>1/2

ou bien... n>1, 1>1/n, 2>2/n , n/2>1/2

[invitef670bfbd]

Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....

Oui il faut que le nombre soit différent de zéro. Mais je ne comprend pas votre remarque

[invitef670bfbd]

oui mais ce nest pas ce que je cherche puisque je cherche 1/(2n) superieur à 1/2

[invitead465ff2]

Franchement fait une recurrence c'est plus simple ou bien

n>1
2n>2
1/2n>1/2

[invitee9560705]

c'est vrai que le raisonnement par récurrence c'est encore ce qu'il y a de plus simple..


Soit la propriété qui dit que

1) Initialisation:

On calcule On voit que ça marche ..

2) Hérédité: On suppose que pour n donné est vrai .. etc.. et on démontre que est vrai aussi.



et on conclut bien!

[invitef670bfbd]

Ben avec une récurrence je bloque aussi:

Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
Pour n=1 P1 est vraie

Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
Montrons que Pn+1 est vraie

U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)
=1/(2n)+1/(2(n+1))-1/(n+1)
= 1/(2n) -1/(2(n+1))

or par hypothèse de récurrence 1/(2n)>1/2

Mais à partir de la je bloque je ne trouve pas comment arriver à montr que Pn+1 est vraie????

[Flyingsquirrel]

Salut

merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
=1/2n
or n>1
donc 1/n<1
soit 1/2n<1/2

Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
pouvez vous me dire mon erreur svp

Attention, U_2n-U_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1) + ... +1/(2n) - (1 + 1/2 + ... +1/n), tu as oublié des termes.

Ben avec une récurrence je bloque aussi:

Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
Pour n=1 P1 est vraie

Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
Montrons que Pn+1 est vraie

U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)

Idem, il reste plus de termes que ça après la soustraction. (si tu veux utiliser l'hypothèse de récurrence il vaudrait mieux faire apparaître U_2n et U_n)

[invitef670bfbd]

Merci j'y suis arrivée mais j'ai encore un problème avec la question suivante pour P(k). Même avec l'aide qu'on m'a proposé je n'y arrive pas.

Pouvez-vous m'aider svp?

[Flyingsquirrel]

Salut

Je suppose que tu as montré p(0) ?

Pour démontrer P(k+1) à partir de P(k) : on sait qu'il existe un n_k tel U_nk>k et on veut prouver qu'il existe n_k+1 tel que . Le résultat de la question 1.a devrait être utile.

[invitef670bfbd]

Salut merci pour l'aide mais je ne comprend toujours pas dsl.

Pourquoi k+1= k+ 1/2+ 1/2 ? Et aussi je ne voit pa comment à partir de U2n on peut arriver à Un+1.
J'ai tout essayé mais je bloque

[Flyingsquirrel]

Et aussi je ne voit pa comment à partir de U2n on peut arriver à Un+1.
J'ai tout essayé mais je bloque

Pourquoi revenir à U_n+1 ? La propriété concerne l'indice k : on ne te demande pas de prouver que U_nk+1 > k+1 mais que pour un certain n_k+1, U_nk+1>k+1, il n'y a, à priori, aucun rapport entre n_k+1 et n_k+1.

Pourquoi k+1= k+ 1/2+ 1/2 ?

Bah 1/2 + 1/2 = 1
Si, partant de U_nk>k, tu appliques deux fois de suite le résultat de la question 1.a, qu'obtiens-tu ?

[invitef670bfbd]

Ah wè!!!!

Alors d'après l'hypothèse de récurrence
Unk>k

Or U2n >Un+ 1/2

Soit U2n> k+ 1/2

Mais en appliquent 2 fois de suite c'est pas possible de retrouver k+1

ça me fais 2Un> 2K +1???

[Flyingsquirrel]

Mais en appliquent 2 fois de suite c'est pas possible de retrouver k+1

Et pourquoi ça ne serait pas possible ?

U_4nk>U_2nk+1/2=... sachant que U_2nk>k+1/2.

[invitef670bfbd]

Donc si j'ai compris ça me fais:

d'après l'hypothèse de récurrence

Unk>k

Or U2n >Un+ 1/2(1)

Soit U2nk> k+ 1/2

d'où en réutilisant (1) on obtient:

U4nk>U2nk+1/2

De plus U2nk>k+1/2.

donc U4nk>k+1/2+1/2

soit U4nk>k+1

MAIS comment arriver à Unk+1>k+1??

[invitef670bfbd]

Ah oui aussi j'ai une autre question por l'initialisation on a
pour k=1

Un>1 et après cela veut dire quoi par rapport à la proposition?

Et est-ce que vous pouvez me corriger la 2ème question aussi svp:

Soit P(n) la propriété:" Vn<2- 1/n"

Pour n=1 c'est vraie

Hérédité:Supposons P(n) vraie Montrons que Pn+1 est vraie

Vn+1=1+ 1/2^2+...+1/n^2+ 1/(n+1)^2

soit Vn+1=Vn+ 1/(n+1)^2

Or par hypothèse de récurrence Vn<2- 1/n

d'où Vn+1< 2- 1/n + 1/(n+1)^2

soit Vn+1< 2- {(n+1)^2 + n)}/ (n*(n+1)^2)

Mais à partir de là je bloque si je developpe cela m'ammene à rien je n'arrive pas à Vn+1<2- 1/n+1

Pouvez vous m'aider svp??

[Flyingsquirrel]

soit U4nk>k+1

MAIS comment arriver à Unk+1>k+1??

Hé bien en disant que n_k+1=4n_k. Tu cherchais un entier à partir duquel les termes de la suite sont plus grands que k+1 et tu en as trouvé un.

Ah oui aussi j'ai une autre question pour l'initialisation on a
pour k=1

Un>1 et après cela veut dire quoi par rapport à la proposition?

Ça veut dire que n₁ peut être n'importe quel entier puisque U_n>1 pour tout n.

d'où Vn+1< 2- 1/n + 1/(n+1)^2

Je crois que le plus simple c'est de s'arrêter là. Comme on veut montrer V_n+1< 2- 1/(n+1), ça revient à montrer que 1/(n+1) > 1/n - 1/(n+1)² ou encore que 1/n-1/(n+1)>1/(n+1)² et là, en mettant les termes de gauche au même dénominateur, on s'aperçoit que c'est toujours vrai.

[invitef670bfbd]

[Comme on veut montrer V_n+1< 2- 1/(n+1), ça revient à montrer que 1/(n+1) > 1/n - 1/(n+1)² ou encore que 1/n-1/(n+1)>1/(n+1)² et là, en mettant les termes de gauche au même dénominateur, on s'aperçoit que c'est toujours vrai.[/QUOTE]

Désolé mais je ne comprend pas d'où sort ces inégalité et leur rappor avec Vn+1

[Flyingsquirrel]

En fait, je raisonne à l'envers, en partant du résultat, pour voir ce que l'on doit montrer :
on voudrait déduire V_n+1< 2- 1/(n+1) de V_n+1< 2- 1/n + 1/(n+1)² or, si on montre 1/(n+1) < 1/n - 1/(n+1)², on pourra en tirer 2 - 1/(n+1) > 2 - 1/n + 1/(n+1)² puis 2 - 1/(n+1) > V_n+1 qui est le résultat voulu.

[invitef670bfbd]

Salut c'est encoremoi merci pour tes éclaircissement mais quand j'essaye de montrer ce que tu m'a dit je tourne en rond je n'arrive pas au résultat voulu??? Mais je ne sais pas pourquoi, je bloque

Pouvez-vous m'aidez svp?
mERCI

[Flyingsquirrel]

Tu peux le faire comme ça : puisque n < n+1.