Géométrie [ Seconde ]

[invite255b3992]

Bonjours,
J'ai un problème avec la dernière partie de mon DM.

.:1ére Partie:.

On considère un triangle ABC.
Doit M le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur tombée de A.
On pose MH = , AH = , BC = , AC = et AB = .

1. Montrer que AM² =

2. En supposant que le triangle ABC soit rectangle en A, quel résultat bien connu retrouve-t-on à partir de la relation précédente.

3. En supposant que le triangle ABC soit équilatéral, quel résultat bien connu retrouve-t-on à partir de la relation précédent ?

Réponse :

1. Je sais que:

AM²= h²+ x²
On pose a' = , et on suppose ABAC

Dans le triangle ABH:
²=²+BH²=²+(a'-)²

Dans le triangle ACH:
²=²+CH²=²+(a'+)² (2)

Donc:
²-²= (²+a'²+²+2a')-(²+a'²+²-2a')(3)

Je développe maintenant: (2)

²=²+a'²+²+2a'

²=AM²+a'²+2a' ( en utilisant (1) )

AM²=²-a'²-2a²

AM²=

AM²=

AM² =

2.Si ABC est rectangle en A, alors AM = (propriété de 4ème sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit).
Donc AM² =
Donc, avec 1) : =

=

=



3. Si ABC est équilatéral alors a=b=c et M=H, donc AM est la hauteur issue de A du triangle.
Donc, avec 1): AM² =
Donc AM =

.:2éme partie:.

3.a. Soit P et Q les milieux respectifs de [AC] et [AB].
Exprimer BP² et CP² en fonction de , et

b. On note G le centre de gravité du triangle ABC.
Montrer que

Réponse :

Les deux dernière questions je ne comprend pas vraiment Merci de toute votre aide
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[invite1237a629]

Salut,

Pour la première question, je n'ai ptet pas bien compris, mais te débarrasses-tu de x dans AM² ? Grâce au (3) ? Je n'ai pas vérifié, mais ça me semble bon en tout cas (tu trouves le bon résultat, reste à voir si ta méthode est catholique )

Pour la 2., tu as trouvé ce qu'il fallait. On te demande quel résultat connu tu obtiens. Il suffit que tu dises que ça correspond bien au théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A et le tour est joué

Et la relation de la 3., je connais pas, mais si ça te dit quelque chose...

Pourquoi tous ces "" ?



Pour la deuxième partie, tu peux procéder comme dans la première. On a juste P (respectivement Q) qui a "pris la place" de M. Pareil pour a,b,c, il va juste falloir réécrire la formule trouvée dans la première partie avec les valeurs adaptées

Explication :
AM²=1/4 2(b²+c²)-a², avec M milieu du segment dont la longueur est a.

Donc BP²= ............., sachant que P est le milieu du segment dont la longueur est b.

Idem pour CQ²


Pour la question b, le centre de gravité s'obtient par intersection de quelles droites du triangle ? Connaîtrais-tu une propriété du centre de gravité qui fasse intervenir un certain facteur 1/3 ?



EDIT : waouh ! ça en fait des smileys !

[invite255b3992]

Le smiley " " signifie que je suis pas sur de la réponse



3.a. On a démontré que :

AM² =

AG² =

On aura de même :

BG² =

CG² =

3.b.AG² + BG² + CG² =

[invite1237a629]

Nyu ~

Ce n'était pas BP et CQ qu'on te demandait ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On peut faire beaucoup plus simple mais je ne sais pas si tu connais la relation du cosinus dans les triangles :
Dans le triangle ABM : AM² = BM²+BA²-2 AB*BM*cos(B)=a²/4+c²-a*BH
Dans le triangle ACM : AM² = CM²+AC²-2 AC*CM*cos(C) = a²/4+b²-a*CH
En ajoutant on trouve tout de suite :
2 AM² = a²/2 + b² + c² - a² et c'est fini.
Mais il faut connaître la relation.

[invite2220c077]

JeanPaul > On ne voit cette relation qu'en 1°S (en France en tout cas).

[invite255b3992]

Merci mais ce n'est pas de mon niveau

[invite255b3992]

Ce que j'ai fait correspond en faite a la dernière question.

Mais la question 3.a...

[invitea3eb043e]

Tu as trouvé l'expression de AM² pour un triangle des plus ordinaires (c'est important). AM² = 1/4 * (2b² + 2c²-a²)
Tu peux faire tourner ce résultat (ça s'appelle une permutation circulaire).
Alors A devient B, M devient P, a devient b, b devient c et c devient a.
Ca donne quoi alors dans la formule ci-dessus ?

[invite255b3992]

Je ne vois pas très bien ce que tu me demande de faire

[invitea3eb043e]

Ca revient à tourner ton triangle et à refaire exactement le même raisonnement qui sera valable parce qu'un triangle quelconque tourné sera toujours un triangle quelconque.
Tu vois que c'est le même calcul mais les lettres ont changé, les sommets ont changé de nom, les longueurs ont changé mais c'est le même raisonnement.