Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 16 sur 16

Problème de géomètrie (seconde)



  1. #1
    younes guessous

    Question Problème de géomètrie (seconde)


    ------

    Bonjour,
    Je séche sur un problème:

    Soit a, b et c les longueurs d'un triangle.
    Démontrer que:
    a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) est infèrieure ou égale à 2


    Merci d'avance

    P.S: je ne sais pas utiliser "latex"

    -----
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  2. Publicité
  3. #2
    danyvio

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Dans un triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres....
    Et même strictement inférieur, sauf cas du triangle aplati.

    Tout est là pour ton exo !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    younes guessous

    Exclamation Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Bonsoir,
    Ben j'ai essayé et voilà ce que ça donne:

    d'où : et et
    En additionnant membre à membre, on obtient:

    Or ce n'est pas le résultat escompté.

    Merci quand même.
    A+

    P.S: je ai finalement appris à utiliser LaTex
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  5. #4
    Taar

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut.

    C'est un classique d'entraînement aux Olympiades...
    Un indice : il s'agit de réduire chaque terme au même dénominateur ; pas avec une égalité comme on fait d'habitude, mais plutôt avec une inégalité.

    D'habitude on écrit :

    Là il faut trouver :
    est un dénominateur astucieux.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Bonjour,
    perso, je coupe en 2
    je majore par 1 le terme a/(b+c) où a est le plus grand (reste à justifier ce n'est pas dur)
    et je majore aussi par 1 la somme des deux autres : réduction au même dénominateur, la comparaison du dénominaeur et du numérateur se fait bien.
    Mais je suis sûr que la solution de Taar doit être plus astucieuse.

  8. #6
    homotopie

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Là il faut trouver :
    est un dénominateur astucieux.
    OK trouvé, c est plus simple en effet.

  9. Publicité
  10. #7
    homotopie

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Allez on va aiguiller un peu plus youness guessous car autant la preuve écrite est simple et courte trouver l'astuce l'est moins.
    d est le plus petit dénominateur commun des trois (il faut faire un choix auparavant entre a,b et c et dire que c'est le plus grand )

  11. #8
    younes guessous

    Post Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut,
    J'ai résolu l'exercice hier après avoir lu le message de Taar (mais sans lire les messages de homotopie) en procédant comme ceci:
    J'utilise une propriété peu connue:
    si x, y et z sont des réels strictement positifs et
    alors:
    ( J'en ai la démonstration, il n'y a qu'à demander )

    on l'applique à notre problème:
    a, b et c les longueurs d'un triangle.
    donc a et b+c sont des réels strictement positifs
    et d'où
    donc d'aprés la précèdente propriété:

    (en posant , et )

    On applique cette méthode à et
    Ce qui donne
    Donc
    En simplifiant par
    On obtient :

    J'espère que je ne me suis pas trompé

    Pour ta méthode, homotopie, je ne l'ai pas encore essayée

    Merci à tous ( Taar, homotopie et danyvio )
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  12. #9
    homotopie

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Démo impec

  13. #10
    younes guessous

    Question Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut,
    Merci pour le compliment.

    J'avoue ne pas avoir compris ta méthode.
    Ce serait gentil de la détailler en utilisant LaTex , le langage qui permet d'écrire des signes de maths sur le forum (comme ce que j'ai fais) http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/maths.html

    A+
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  14. #11
    Taar

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut Younes !

    C'est exactement ça. Bravo !
    La propriété "peu connue" est bien pratique, et en fait pas si peu connue que ça ...

    PS : Ne t'inquiète pas, homotopie connaît LaTeX...

  15. #12
    younes guessous

    Thumbs up Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut,
    Tout d'abord merci je ne crois pas que je n'aurais résolu le problème sans ton indication.
    Mais je n'ai pas saisi la méthode de homotopie, tu pourrais me l'expliquer ?
    A+
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  16. Publicité
  17. #13
    Taar

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Ok. homotopie j'espère ne pas te trahir, sinon je fais enlever ce message...

    Il suppose que (sinon on permute les rôles de , , ).

    En réduisant au même dénominateur, il obtient :


    Vu l'hypothèse , on a alors
    et

    Donc, tout étant positif :

    Et il conclut en ajoutant

  18. #14
    younes guessous

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    (Re)salut,
    Merci, là j'ai compris.

    A+

    P.S:T'inquiète pas tu le trahit pour une bonne cause
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

  19. #15
    homotopie

    Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Je tiens à rassurer : Taar a parfaitement écrit la 1ère démo à laquelle j'ai pensée.
    La seconde à laquelle je pensais est finalement une autre.

    a désigne la longueur la plus grande, ainsi
    a+b et a+c sont au moins aussi grands que b+c


    Or car a, b et c sont les longueurs des trois côtés d'un triangle..
    Et en sommant, on a linégalité voulue.

  20. #16
    younes guessous

    Talking Re : Problème de géomètrie (seconde)

    Salut,
    Ouais c'est aussi une bonne méthode.
    La mienne c'est la plus longue et la plus compliquée finalement
    Allez, bonne nuit
    Ce qui est incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible.(Albert Einstein)

Discussions similaires

  1. Exercice de géométrie (seconde)
    Par pulpeuse dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 19/09/2015, 14h39
  2. Probleme Dm De Math Seconde
    Par boulididoune dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 14
    Dernier message: 19/02/2010, 13h46
  3. Problème seconde
    Par p-47 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 9
    Dernier message: 21/05/2007, 21h07
  4. problème seconde
    Par KhaoUula dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 2
    Dernier message: 26/04/2007, 15h40
  5. Problème de seconde
    Par Gracawell dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 15/12/2006, 20h38