Problème de géomètrie (seconde)

[invite33d8e6a4]

Bonjour,
Je séche sur un problème:

Soit a, b et c les longueurs d'un triangle.
Démontrer que:
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) est infèrieure ou égale à 2


Merci d'avance

P.S: je ne sais pas utiliser "latex"
-----

[danyvio]

Dans un triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres....
Et même strictement inférieur, sauf cas du triangle aplati.

Tout est là pour ton exo !

[invite33d8e6a4]

Bonsoir,
Ben j'ai essayé et voilà ce que ça donne:

d'où : et et
En additionnant membre à membre, on obtient:

Or ce n'est pas le résultat escompté.

Merci quand même.
A+

P.S: je ai finalement appris à utiliser LaTex

[invite9cf21bce]

Salut.

C'est un classique d'entraînement aux Olympiades...
Un indice : il s'agit de réduire chaque terme au même dénominateur ; pas avec une égalité comme on fait d'habitude, mais plutôt avec une inégalité.

D'habitude on écrit :

Là il faut trouver :
où est un dénominateur astucieux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
perso, je coupe en 2
je majore par 1 le terme a/(b+c) où a est le plus grand (reste à justifier ce n'est pas dur)
et je majore aussi par 1 la somme des deux autres : réduction au même dénominateur, la comparaison du dénominaeur et du numérateur se fait bien.
Mais je suis sûr que la solution de Taar doit être plus astucieuse.

[invite35452583]

Là il faut trouver :
où est un dénominateur astucieux.

OK trouvé, c est plus simple en effet.

[invite35452583]

Allez on va aiguiller un peu plus youness guessous car autant la preuve écrite est simple et courte trouver l'astuce l'est moins.
d est le plus petit dénominateur commun des trois (il faut faire un choix auparavant entre a,b et c et dire que c'est le plus grand )

[invite33d8e6a4]

Salut,
J'ai résolu l'exercice hier après avoir lu le message de Taar (mais sans lire les messages de homotopie) en procédant comme ceci:
J'utilise une propriété peu connue:
si x, y et z sont des réels strictement positifs et
alors:
( J'en ai la démonstration, il n'y a qu'à demander )

on l'applique à notre problème:
a, b et c les longueurs d'un triangle.
donc a et b+c sont des réels strictement positifs
et d'où
donc d'aprés la précèdente propriété:

(en posant , et )

On applique cette méthode à et
Ce qui donne
Donc
En simplifiant par
On obtient :

J'espère que je ne me suis pas trompé

Pour ta méthode, homotopie, je ne l'ai pas encore essayée

Merci à tous ( Taar, homotopie et danyvio )

[invite35452583]

Démo impec

[invite33d8e6a4]

Salut,
Merci pour le compliment.

J'avoue ne pas avoir compris ta méthode.
Ce serait gentil de la détailler en utilisant LaTex , le langage qui permet d'écrire des signes de maths sur le forum (comme ce que j'ai fais) http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/maths.html

A+

[invite9cf21bce]

Salut Younes !

C'est exactement ça. Bravo !
La propriété "peu connue" est bien pratique, et en fait pas si peu connue que ça ...

PS : Ne t'inquiète pas, homotopie connaît LaTeX...

[invite33d8e6a4]

Salut,
Tout d'abord merci je ne crois pas que je n'aurais résolu le problème sans ton indication.
Mais je n'ai pas saisi la méthode de homotopie, tu pourrais me l'expliquer ?
A+

[invite9cf21bce]

Ok. homotopie j'espère ne pas te trahir, sinon je fais enlever ce message...

Il suppose que (sinon on permute les rôles de , , ).

En réduisant au même dénominateur, il obtient :


Vu l'hypothèse , on a alors
et

Donc, tout étant positif :

Et il conclut en ajoutant

[invite33d8e6a4]

(Re)salut,
Merci, là j'ai compris.

A+

P.S:T'inquiète pas tu le trahit pour une bonne cause

[invite35452583]

Je tiens à rassurer : Taar a parfaitement écrit la 1ère démo à laquelle j'ai pensée.
La seconde à laquelle je pensais est finalement une autre.

a désigne la longueur la plus grande, ainsi
a+b et a+c sont au moins aussi grands que b+c


Or car a, b et c sont les longueurs des trois côtés d'un triangle..
Et en sommant, on a linégalité voulue.

[invite33d8e6a4]

Salut,
Ouais c'est aussi une bonne méthode.
La mienne c'est la plus longue et la plus compliquée finalement
Allez, bonne nuit