La règle des signes: y a-t-il une démonstration?

[invite0c5534f5]

Salut,

La règle des signes qui stipule que:
-moins par moins et plus par plus fait plus.
-moins par plus et plus par moins fait moins

A-t-elle une démonstration où est-ce seulement une convention?

Merci.
-----

[invite41f720d5]

bonjour
en quelques sortes c'est plus une convention et de plus on a pas vraiment besoin de demo

exemple: -1x2 ca fait -2
Certes tu va me dire que ca implique un peu la regle....

[Seirios]

A-t-elle une démonstration où est-ce seulement une convention?

Je ne sais pas si on peut réellement parler de démonstration, mais on peut voir les choses comme cela :

De manière générale : a(b+c) = ab+ac.
Donc si c = -b, on a : a(b+(-b)) = ab+a(-b) (1)
Soit a(b-b) = ab+a(-b)
0 = ab+a(-b) d'où a(-b) = -(ab).

Maintenant, si on pose a = -d dans (1), on obtient :
0 = -d.b+(-d)(-b), d'où (-d)(-b) = d.b.

A partir de ces deux constations, on peut alors en déduire la règle bien connue.

[invite0c5534f5]

Question plus simple alors:
Historiquement, d'où vient cette règle?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee2d9a777]

Maintenant, si on pose a = -d dans (1), on obtient :
0 = -d.b+(-d)(-b), d'où (-d)(-b) = d.b.

Le problème c'est que dans ta "démonstration" tu utilises l'axiome (-1)*(-1) = 1
Plus précisément ici (quand tu fais le passage de l'autre côté, il ne faut pas oublier qu'un passage c'est une opération):

0 = -d.b+(-d)(-b)
-(-d.b) = -d.b+(-d)(-b) -(-d.b)
-(-d.b) = (-d)(-b)
d.b = (-d)(-b)

Donc non malheureusement pas de démonstration à ce jour...

[Médiat]

Bonjour,

Si on veut parler de démonstration, il faut savoir quelles définitions ou quels axiomes on utilise, en général on définit à partir de , grâce à une relation d'équivalence sur définit par , la multiplication sur les couples est, elle, définit par .

Par définition, on note la classe de et comme (en appliquant bêtement la définition), on a bien que .

Il faudrait expliquer pourquoi la classe de , pour les détails je renvoie au § II.3.4 du document http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180

[invitee2d9a777]

A moins que:

Le produit étant commutatif nous avons que trois cas à envisager

-1*-1
-1* 1
 1* 1

et nous devons y associer tous les résultats possibles dans {-1,1}, c'est une 3-liste (2̨^3)

-1*-1 = +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1
-1*+1 = +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1
+1*+1 = +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1

Comme on sait 1 * 1 = 1 sinon on perd la stabilité de l'élément neutre et comme démontré ci-dessus -1*1 = -1
Il ne nous reste pus que 2 cas:

-1*-1 = -1 +1
-1*+1 = -1 -1
+1*+1 = +1 +1

Attachons-nous au cas -1*-1 = -1.
alors -1 est un second élément neutre (il ne modifie rien)
Ce qui pose un sacré problème car à ce moment-là -1 ne devrait pas modifier -1*1 pas plus que 1 ne devrait modifier -1*1
Or on sait que -1*1 est égal à -1 donc -1 n'est pas neutre ... contradiction donc:

-1 * -1 = 1

PS: Merci pour le message précédent que je n'ai lu qu'après avoir posté.

[invitee2d9a777]

Pour l'aspect historique lire http://serge.mehl.free.fr/chrono/Rolle.html au paragraphe "La règle des signes"

[zenxbear]

Pour l'aspect historique lire http://serge.mehl.free.fr/chrono/Rolle.html au paragraphe "La règle des signes"

la réponse de médiat est bien plus logique. Dans la construction de Z,
=> on définit des classes d’équivalences sur NxN (a,b) <-> "a-b"
=> définit une addition, et on vérifie qu'elle compatible avec la relation d'équivalence
=> l'opposé d'un couple (a,b) est (b,a)
=> définit une multiplication, et on vérifie qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence,
=> on vérifie les propriétés de distributivité de la multiplication / l'addition avec les nombres relatifs.

Le truc est qu'au moment de définir la multiplication on sait déjà, par la définition choisie que "(b,a)x(d,c) équivaut (a,b)x(c,d)
donc ca n'a pas de sens de reprendre les propriétés de distributivité pour retrouver ce fait.

En gros, ca devient, pour ne pas perdre la distributivité de la multiplication / addition lors du passage entier positifs-> relatifs, il faut que la définition de la multiplication garantisse

[invitedf64afb5]

En termes de montée opposée à descente, et d'avancer opposé à reculer,
je dirai, pour imager un peu la règle, que

+(+) s'image par avancer en étant tourné dans le sens de la montée,
donc on monte -> +

+(-) .................. avancer en étant tourné dans le sens de la descente,
donc on descend -> -

- (+) ................. reculer en étant tourné dans le sens de la montée ,
donc on descend (en marchant à reculons) -> -

-(-) ....................reculer en étant tourné dans le sens de la descente,
donc on monte -> +

Exemple: -3 x (-5) = + 15
Traduction -3 : je recule 3 fois; x(-5) de 5 marches en étant tourné dans le sens de la descente.
Résultat des courses (si je ne me suis pas cassé la gu...): je suis monté de 15 marches.

En proposant cette explication ou plutôt illustration, je ne fais certes pas une démonstration mathématique,
mais je propose simplement un non-arbitraire, tout à fait critiquable, mais qui m'a servi à dépanner quelques jeunes en perdition.

En effet je suis bien certain, comme Bertrand Russel, que les mathématiques sont une science où on ne sait pas de quoi on parle, càd que c'est le règne de l'abstraction, d'une abstraction non-arbitraire et cohérente, mais elles ne partent pas de rien non plus. Il a d'abord eu la nécessité de calculer, puis l'arithmétique a pu évoluer en partant de quelques postulats érigés en axiomes et se construire en suivant la règle de non contradiction, ainsi que la théorie des nombres, et la théorie des ensembles,
en quoi je ne suis pas compétent - témoin une longue discussion que j'ai eue avec Médiat sur les ensembles, et qui m'a fait revenir sur une grosse erreur que je faisais.

Salut bien,
Orph