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[1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré




  1. #1
    Ares_Deus

    [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Bonjour,

    Ma prof, expliquant en même temps qu'elle rédige, je n'ai eu ni le temps de prendre l'intégralité du cours ( démonstration sur la factorisation d'un polynome )
    ni compris comment factoriser un polynome de degré supérieur à 1.

    Je sais seulemlent passer par la forme canonique, qui ne convient pas d'après ma prof pour je ne sais quels raisons !

    Si vous auriez l'amabilité de m'expliquer rapidement avec des exemples numériques et me dire pourquoi la forme canonique ne convient pas. Et surtout la méthode pour factoriser n'importe quel degré de polynome.

    Ce serait vraiment sympatique car j'ai un devoir maison à rendre sur çà lundi et je ne sais rien.

    Merci d'avance, Ares.

    -----


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  3. #2
    MS.11

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Pour factoriser un polynôme de degré 2 et de solutions

    tu dois écrire

    Mais il te faut d'abord calculer le discriminant et trouver tes solutions...

    et s'il est positif

    et



    Ca vaut mieux que n'importe quel exemple numérique .

    Si tu en veux vraiment un remplace a b et c et amuse toi à faire ce que je t'ai écrit. Calcul du discriminant... solutions... factorisation...
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  4. #3
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Merci beaucoup MS.11 est-ce que les démonstrations sont à connaitres juste ?
    Et un résultat peut-il être comme ça : 3 ( x - 4 ) ( x - 9 )
    Et quel est la démarche si on a une expression du genre : ax^3+x^2+2x+cx+d
    Et pour résoudre et pour factoriser ?
    Dernière modification par Ares_Deus ; 06/10/2007 à 17h25.


  5. #4
    danyvio

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Citation Envoyé par Ares_Deus Voir le message
    Et surtout la méthode pour factoriser n'importe quel degré de polynome.
    Vaste programme ! Contente toi des polynomes de degré 2 ou 3, voire 4. A partir de 5, se posent d'autres problèmes...
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  6. #5
    MS.11

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Toutes les démonstrations sont à connaitre : elles peuvent faire l'objet d'une restitution organisée de connaissance au bac par exemple (ROC).

    Ensuite, oui l'expression que tu donnes peut très bien etre la forme factorisée d'un polynôme.

    Et pour finir, les polynômes de degré 3 ne se résolvent pas au lycée. Enfin pas tous. Tu peux trouver une solution évidente et factoriser. Ainsi tu fais une identification des coefficients et tu t'en sors. Mais tu auras le temps d'y penser. Restons dans le second degré !

    http://forums.futura-sciences.com/thread12936.html

    Ca c'est pour résoudre n'importe quel polynôme de degré 3.

    En passant la forme factorisée de est :



    Voilà ! Si tu as d'autres questions.
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Encore une fois merci mais comment trouve-t-on les racines d'un polynome de degré 3.
    ( le lien n'est pas tres claire, le théorem de Sturm ... )
    J'aimerais une methode simple et clair

  9. #7
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Est-ce que c'est toujours b²-4ac pour le discriminant d'un polynome du 3è degré.
    Et est-ce que les solutions sont toujours : ( -b + racine de delta )/2a et ( -b - racine de delta )/2a

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  11. #8
    Duke Alchemist

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Ares_Deus Voir le message
    Est-ce que c'est toujours b²-4ac pour le discriminant d'un polynome du 3è degré.
    Et est-ce que les solutions sont toujours : ( -b + racine de delta )/2a et ( -b - racine de delta )/2a
    Pour le degré 3, on rencontre souvent la méthode de Cardan.

    Sinon, je pense que pour la résolution du degré 3 au lycée consiste à trouver une racine évidente puis à simplifier l'écriture...
    Le principe est le suivant :
    P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0

    Soit x1 la racine évidente.
    Tu peux dès lors factoriser par (x - x1)
    Tu as : P(x) = (x - x1)(a'x² + b'x + c')

    En développant cette expression, on retrouve un polynôme du troisième degré.
    Une simple identification des coefficients permet de retrouver les valeurs de a', b' et c'.
    Le polynôme a'x² + b'x + c' peut éventuellement se factoriser à l'aide soit du discriminant ou d'autres racines évidentes...

    Duke.

  12. #9
    MS.11

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Ca se voit pas au lycée. Je suis pas capable de te répondre. Mais y a des gens bien plus compétants qui se feront une joie. Mais c'est peut être un poil compliqué au niveau du lycée ...

    En tout cas, certains polynômes de degré trois se factorisent : exemple



    Tu as donc 0 comme solution et celles du polynome du second degré dans la paranthèse.

    Si tu prends :





    -1 est solution évidente.
    On factorise



    On développe l'expression :



    On arrange un peu :



    Par identification des coefficients on a :



    Tu obtiens :

    Et les solutions sont montré plus haut et celles du polynôme . Or ce dernier polynôme n'admet aucune solution dans . Donc admet une unique solution.

    Tu as là un exemple simple de factorisation par une des solutions et d'identification des coefficients pour trouver un polynôme équivalent.

    Devancé par Duke Alchemist, mais j'ai fait un résumé plus clair !! lol !!
    Dernière modification par MS.11 ; 06/10/2007 à 20h19.
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  13. #10
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
    Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
    Et je ne vois pas du tout comment faire.
    J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S

  14. #11
    danyvio

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Citation Envoyé par Ares_Deus Voir le message
    Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
    Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
    Et je ne vois pas du tout comment faire.
    J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S
    Une racine évidente est censée te sauter aux yeux. En fait, ce sont souvent de petites valeurs de la variable (1, -1, 2, -2...) qui te permettent de calculer la fonction "de tête". Dans ton cas, si tu remplaces x par 1, tu obtiens bien 0, sans utiliser ta calculette
    Ce qui signifie que ton polynome est divisible par (x-1)
    D'une manière générale, et tu dois le savoir PAR COEUR, quand un polynome a une racine r (évidente ou non!), ce polynome est divisible par (x - r).
    Tu effectues une division du polynome initial par (x -r) (sais-tu faire ?) et tu obtiens un polynome de degré inférieur de une unité. Et tu recherches à nouveau une racine évidente si nécessaire.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  15. #12
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Effectivement, ca fait bien 0 mais si la racine n'est pas évidente comment la trouver ?
    Et quand tu dis sais-tu diviser un polynome, ca depend si le mot diviser, je ne sais pas si je sais car je ne l'ai jamais fais sur un polynome ^^
    Et pourquoi est-il divisible par ( x -1 ) et non pas 1 tout court ?
    Désolé mais cette année moi et les math on fait 3.

  16. #13
    danyvio

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Disons pour faire simple à ton niveau : divisier un polynome par (x -r) c'est mettre (x - r) en facteur....
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  17. #14
    Ares_Deus

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    D'accord merci vous avez répondu à presque toutes mes questions, si vous voulez continuez à m'aider
    Aidez moi sur mon post consacré à mon devoir maison sur ce sujet.
    Maintenant je post là-bas.

  18. #15
    orpheu48

    Smile Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Bonjour,

    En 1ère, on est censé connaitre par coeur la formule
    P(x) = ax² + bx + c peut se factoriser en
    a(x-x')(x-x") , x' et x" en étant les radicaux, càd les solutions de l'équation P(x) = 0
    lorsque b²-4ac > 0 .
    Je comprends facilement que toute expression de forme (x-x') (x-x") est égale à 0 si x' ou x" est nul,
    car une des deux parenthèses est alors nulle, ainsi que, par suite, toute formulation où elle est multipliée par un réel quelconque.
    Mais comment arrive-t-on à a(x-x')(x-x"), a étant le coefficient de X² dans l'écriture ax² + bx + c ?
    La formule est donnée comme à savoir par coeur dans un livre de cours que je viens d'acheter, mais n'est pas établie (démontrée).
    Il en est de même pour la forme canonique, que j'ai pu avec quelques efforts établir dans le cas général (càd hors valeurs numériques),
    mais pour la forme factorisée ci-dessus je cale.
    J'ai 68 ans, je me remets aux maths pour le plaisir, et je trouve dommage que les livres de cours donnent parfois des formules
    à savoir par coeur sans les démontrer. Ce n'est pas très satisfaisant pour l'esprit.
    Merci à qui me donnera le calcul littéral.
    Salut bien,
    Orph

  19. #16
    gg0

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Citation Envoyé par Ares_Deus Voir le message
    Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
    Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
    Et je ne vois pas du tout comment faire.
    J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S
    Pas besoin ici de racines évidentes, on te demande seulement de développer le second membre pour retrouver le premier. Exactement comme tu vérifies que 91=13x7.

    Bien lire les énoncés et ne pas aller chercher des complications est le début de la sagesse. En plus, en maths, utiliser son intelligence, faire fonctionner ses neurones, ...

    Cordialement.

    NB : Factoriser est difficile, parfois impossible; développer (et donc vérifier les factorisations) est automatique.
    Dernière modification par gg0 ; 05/07/2016 à 12h24.

  20. #17
    Dynamix

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bien lire les énoncés et ne pas aller chercher des complications est le début de la sagesse.
    La patience aussi ...
    Neuf ans pour obtenir une réponse

  21. #18
    gg0

    Re : [1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

    Aie ! J'ai suivi bêtement Orpheu48.

    Mais ça peut lui servir, à lui aussi !

    Cordialement.

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