Factoriser un poly du 3è degré

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour à tous,

je voudrais savoir s'il est possible de mettre en facteur un polynome du troisième degré sans forcemment le mettre en forme canonique, juste le mettre en facteur de plusieurs parenthèse:
j'ai :

X^3 + 6X² + 4X -6

Je sais pas du tout comment faire ça ! Y-a-t-il des astuces de mises en forme ?

Merci de me guider.
-----

[invite7af75ce8]

Je reviens à ta question initiale. Oui il existe bien une méthode comparable à celle du second degré pour résoudre une équation de 3ième degré.
Je t'en résume le principe : ax^3+bx^2+cx+d=0
1 d'abord faire un changement de variable t=x+b/(3a) de sorte que l'on obtient t^3 + pt +q =0
2 Ensuite poser t = u - p/(3u) ce qui donne u^3-(p/3u)^3+q =0
3 Enfin on pose z= u^3 et l'on revient à une équation du second degré.
Le problème c'est que cette méthode ne marche que si ton équation a une seule racine réelle. Si elle en a 3, on est coincé sauf à passer par les complexes (ou par la trigo mais c'est une autre histoire).
C'est d'ailleurs en voulant résoudre ce problème qu'on a "inventé" les nombres complexes, à la Renaissance.

C'est la méthode générale pour résoudre ce genre d'équations... Attention, je l'ai utilisé une fois pour m'amuser, j'ai eu un mal de crâne terrible apres!

Source : Méthode de cardan ...
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

[invite80fcb52e]

Si tu connais ses 3 racines X1, X2 et X3, tu peux le mettre sous la forme:

(X - X1)(X - X2)(X - X3)

[invite252842cf]

Il suffit de trouver une seule racine (x1 par exemple) puis après on l'écrit sous forme de (x-x1)(ax^2+bx+c)
vient après la factorisation de (ax^2+bx+c)
en fait ça rejoint dans un sens la méthode de la forme canonique mais je pense que celle-ci est plus rapide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Il suffit de trouver une seule racine

Encore faut-il la trouver, parce que quand elle n'est pas entière, comme ici par exemple ...

[inviteea5db5e2]

J'allais écrire une bêtise...
Il aurait fallu un dernier coefficient avec un x.
Dans ce cas on mettait un x en facteur et on se retrouvait avec du gentil second degré. Mais là on serait obligé de mettre un 6/x et ce serait pas terrible !

[invitea1b49bb7]

oui il suffit de trouver une racine.. après pour trouver la factorisation exacte je peux te conseiller la méthode d'Hörner

[invitea250c65c]

Bonjour,

J'ai résolu ton équation avec une méthode que j'avais trouvée dans un exo corrigé:

J'ai reduis ton équation a qqch de la forme:

La je regarde s'il n'y a pas une racine évidente par hasard ou si p ou q =0 mais ce n'est pas le cas.
Ensuite je pose X=u+v
je develloppe
...
puis je trouve que si u et v sont solution du systeme:


alors X (=u+v) est solution de l'équation
La y'a un peu de calcul et au final je trouve une unique solution:



Donc voila c'est bien la méthode de Cardan, je l'ai trouvé dans un livre d'exos corrigés mais c'est vrai que ca fait pas mal de calcul, mais bon, c'est sympa quand on trouve a la fin le même resultat que la calculette.

Je ne maitrise pas encore tres bien la méthode donc je n'ai pas tres détaillé, mais l'article de wikipédia a l'air tres bien.

J'espere avoir pu t'aider.

A+

[invitea1b49bb7]

éventuellement tu peux trouver une solution évidente avec une calculatrice par exemple et ensuite tu utilises Hörner :

lien wiki mais je trouve pas ça très clair :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_d'Horner

Sinon un lien p-etre mieux :

http://www.daskoo.org/140-horner.cours

c'est plus clair sur le dernier

@+