Bonjour !
Je ne pense pas que ce soit enseigné en terminale, donc je pose ma question ici.
J'ai cru comprendre qu'avec les complexes, on pouvait résoudre des polynomes du troisieme degré.
Est ce que j'ai rêvé ? Sinon, comment ça marche ?
Merci d'avance !
Penangol
Bonjour,
En fait dans les complexes on peut démontrer que tout polynôme de degré n (n naturel > 0) admet n racines complexes (éventuellement réelles)
Par exemple : x³ + x = x(x² + 1) (polynôme de degré 3 donc 3 racines)
racine n°1 : le réel 0
racine n°2 : le complexe -i
racine n°3 : le complexe i
Et c'est vrai quelque soit le polynôme. Si je prends :
P(x) = x8 + 8x5 + 3x - 10
celui ci admettra 8 racine complexes (ou réelles), mais de la à savoir lesquelles ...
On peut aussi déterminer les racines de polynômes de degré 4. En revanche, on ne peut pas le faire (sauf exception) pour des polynômes de degré supérieur à 5.
Plus précisément les polynômes de degré supérieurs à 4 ne sont pas résolubles par radicaux, c'est à dire qu'il est impossible (on peut le prouver) de trouver une formule contenant un nombre fini d'addition, soustration, multiplication, division, extractions de racines (et rien d'autre) et fournissant une racine du polynôme
Mais il n'empêche que ces racines existent bel et bien, simplement ce n'est pas évident de les trouver (de manière générale)
Je reviens à ta question initiale. Oui il existe bien une méthode comparable à celle du second degré pour résoudre une équation de 3ième degré.
Je t'en résume le principe : ax^3+bx^2+cx+d=0
1 d'abord faire un changement de variable t=x+b/(3a) de sorte que l'on obtient t^3 + pt +q =0
2 Ensuite poser t = u - p/(3u) ce qui donne u^3-(p/3u)^3+q =0
3 Enfin on pose z= u^3 et l'on revient à une équation du second degré.
Le problème c'est que cette méthode ne marche que si ton équation a une seule racine réelle. Si elle en a 3, on est coincé sauf à passer par les complexes (ou par la trigo mais c'est une autre histoire).
C'est d'ailleurs en voulant résoudre ce problème qu'on a "inventé" les nombres complexes, à la Renaissance.
Salut,
Précision : ce que tu dis est vrai dans le cas général. Il existe des polynômes de degré quelconque dont les racines s'expriment par radicaux.Plus précisément les polynômes de degré supérieurs à 4 ne sont pas résolubles par radicaux
Cordialement.
Oui j'ai oublié de préciser que je parlais du cas général. Par exemple si je considère les équations du type :
elles sont résolubles par radicaux mais ce n'est qu'un cas particulier de polynôme de degré dix
Merci de vos réponses
Je suis pas sur d'avoir totalement suivi...1 d'abord faire un changement de variable t=x+b/(3a) de sorte que l'on obtient t^3 + pt +q =0
2 Ensuite poser t = u - p/(3u) ce qui donne u^3-(p/3u)^3+q =0
3 Enfin on pose z= u^3 et l'on revient à une équation du second degré.
Le problème c'est que cette méthode ne marche que si ton équation a une seule racine réelle. Si elle en a 3, on est coincé sauf à passer par les complexes (ou par la trigo mais c'est une autre histoire).
Trop de changement de variables
Tu pourrais reprendre, avec éventuellement un exemple ?
merci !
(Pen)²
en fait il simplement pas détaillé les calculs, je pense que c'est à toi de prendre ton stylo et de faire les calculs.
Pour le premier changement de variable, tu remplaces tous les x qui apparaissent par t - b/(3a), tu developpes et tu tombera sur l'expression donnée. Il sagit ensuite de faire ça pour chaque changement de variables.
la résolutions des équations du troisième degrés est un peu calculatoire dans le cas général.
