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Complexes et polynomes du troisieme degré



  1. #1
    Penangol

    Complexes et polynomes du troisieme degré


    ------

    Bonjour !
    Je ne pense pas que ce soit enseigné en terminale, donc je pose ma question ici.
    J'ai cru comprendre qu'avec les complexes, on pouvait résoudre des polynomes du troisieme degré.
    Est ce que j'ai rêvé ? Sinon, comment ça marche ?
    Merci d'avance !
    Penangol

    -----
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  4. #2
    Bleyblue

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Bonjour,

    En fait dans les complexes on peut démontrer que tout polynôme de degré n (n naturel > 0) admet n racines complexes (éventuellement réelles)

    Par exemple : x³ + x = x(x² + 1) (polynôme de degré 3 donc 3 racines)

    racine n°1 : le réel 0
    racine n°2 : le complexe -i
    racine n°3 : le complexe i

    Et c'est vrai quelque soit le polynôme. Si je prends :

    P(x) = x8 + 8x5 + 3x - 10

    celui ci admettra 8 racine complexes (ou réelles), mais de la à savoir lesquelles ...

  5. #3
    indian58

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    On peut aussi déterminer les racines de polynômes de degré 4. En revanche, on ne peut pas le faire (sauf exception) pour des polynômes de degré supérieur à 5.

  6. #4
    Bleyblue

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Plus précisément les polynômes de degré supérieurs à 4 ne sont pas résolubles par radicaux, c'est à dire qu'il est impossible (on peut le prouver) de trouver une formule contenant un nombre fini d'addition, soustration, multiplication, division, extractions de racines (et rien d'autre) et fournissant une racine du polynôme

    Mais il n'empêche que ces racines existent bel et bien, simplement ce n'est pas évident de les trouver (de manière générale)

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  8. #5
    zinia

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Je reviens à ta question initiale. Oui il existe bien une méthode comparable à celle du second degré pour résoudre une équation de 3ième degré.
    Je t'en résume le principe : ax^3+bx^2+cx+d=0
    1 d'abord faire un changement de variable t=x+b/(3a) de sorte que l'on obtient t^3 + pt +q =0
    2 Ensuite poser t = u - p/(3u) ce qui donne u^3-(p/3u)^3+q =0
    3 Enfin on pose z= u^3 et l'on revient à une équation du second degré.
    Le problème c'est que cette méthode ne marche que si ton équation a une seule racine réelle. Si elle en a 3, on est coincé sauf à passer par les complexes (ou par la trigo mais c'est une autre histoire).
    C'est d'ailleurs en voulant résoudre ce problème qu'on a "inventé" les nombres complexes, à la Renaissance.

  9. #6
    martini_bird

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Salut,

    Plus précisément les polynômes de degré supérieurs à 4 ne sont pas résolubles par radicaux
    Précision : ce que tu dis est vrai dans le cas général. Il existe des polynômes de degré quelconque dont les racines s'expriment par radicaux.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  11. #7
    Bleyblue

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Oui j'ai oublié de préciser que je parlais du cas général. Par exemple si je considère les équations du type :



    elles sont résolubles par radicaux mais ce n'est qu'un cas particulier de polynôme de degré dix

  12. #8
    Penangol

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    Merci de vos réponses
    1 d'abord faire un changement de variable t=x+b/(3a) de sorte que l'on obtient t^3 + pt +q =0
    2 Ensuite poser t = u - p/(3u) ce qui donne u^3-(p/3u)^3+q =0
    3 Enfin on pose z= u^3 et l'on revient à une équation du second degré.
    Le problème c'est que cette méthode ne marche que si ton équation a une seule racine réelle. Si elle en a 3, on est coincé sauf à passer par les complexes (ou par la trigo mais c'est une autre histoire).
    Je suis pas sur d'avoir totalement suivi...
    Trop de changement de variables
    Tu pourrais reprendre, avec éventuellement un exemple ?
    merci !
    (Pen)²
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  13. #9
    space-kro

    Re : Complexes et polynomes du troisieme degré

    en fait il simplement pas détaillé les calculs, je pense que c'est à toi de prendre ton stylo et de faire les calculs.

    Pour le premier changement de variable, tu remplaces tous les x qui apparaissent par t - b/(3a), tu developpes et tu tombera sur l'expression donnée. Il sagit ensuite de faire ça pour chaque changement de variables.

    la résolutions des équations du troisième degrés est un peu calculatoire dans le cas général.

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