dm sur polynôme et suite

[Jess921]

bonjour,

je suis bloquée sur un dm ou je dois trouver la valeur exacte de cos (pi/8) en ayant trouver auparavant que cos (4t)=0 ssi t= pi/8 +k(pi/2) et que T₄(x)= 0 si x= racine carrée(1/2+(racine carrée de 2)/4).

Sachant que cos (nt) = T_n(cos(t))

T_n est le polynôme de Tchebychev. De plus, T₄(x) = 8x^4-8x²+1
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[invite0385da3b]

salut

juste pour info : tu es en quelle classe ? parce que j'ai jamais entendu parlé du polynôme de Tchebychev et j'aurais aimé savoir ce que c'est car je suis en terminale S !

[Jess921]

je suis en première S ! et polynôme de Tchebychev d'après mon DM :

cos (nt) = Tindice n (cos(t))

[invite0385da3b]

ok d'accord ! ca doit être un cas particulier pour ton d-m parce que je l'ai pas vu en cours l'année dernière ! mais dans ton d-m, k est un réel ? et T est une fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut

Tu as déjà fait tout le travail ! Tu sais que donc que et comme tu as calculé la racine positive de ...

[Jess921]

je trouve deux racines positives pour T₄ alors comment dois-je faire ?

[Jess921]

je trouve x₁ = racine carrée de(1/2 + (racine de 2)/4)
et x₂ = racine carrée de (1/2 - (racine de 2)/4)

[Flyingsquirrel]

Il y un problème de modulo : cos(4t) s'annule pour modulo et cos(t) ne vaut donc pas toujours mais prend ses valeurs dans et ce qui nous donne deux valeurs différentes possibles : et . Ce sont ces valeurs qui sont les racines de T₄.

Pour savoir qui est qui tu peux utiliser les variations du cosinus sur .

[Jess921]

dans mon dm, c'est écrit que les solutions de cos (t) sont de la forme : t = (pi/8) +k(pi/2) ou t = (-pi/8)+k(pi/2) alors c'est modulo (pi/2) ?!?

De plus, les racines que je trouve c'est en résolvant le polynôme 8x^4-8x²+1 en procédant au changement de variable : X=x² ????????

[Flyingsquirrel]

dans mon dm, c'est écrit que les solutions de cos (t) sont de la forme : t = (pi/8) +k(pi/2) ou t = (-pi/8)+k(pi/2) alors c'est modulo (pi/2) ?!?

Dans ce cas oui, mais ce n'est pas ce que tu as écris dans le premier message .
Pour trouver il faut trouver toutes les valeurs que peut prendre cos(t) avec t tel que cos(4t)=0 puis faire correspondre une racine de T₄ à chaque valeur de cos(t) obtenue. (c'est ce que j'ai commencé à faire à l'avant dernier message)

De plus, les racines que je trouve c'est en résolvant le polynôme 8x^4-8x²+1 en procédant au changement de variable : X=x² ????????

Oui

[Jess921]

quand j'arrive à t₄(cos (pi/8)) comment savoir quelle racine trouvée par le polynome dois-je prendre ?

[Flyingsquirrel]

Comme dit plus haut, les deux racines positives de T4 correspondent à cos(pi/8) et cos(3*pi/8). Sachant que 0 < pi/8 < 3pi/8 < pi/2, compare cos(pi/8) et cos(3pi/8) pour en deduire à quoi correspond la plus petite racine et à quoi correspond la plus grande.

[Jess921]

d'accord : j'ai trouvé les bons résultats en rangeant par ordre croissant les solutions possibles de cos pour que cos(4t) =0 puis de même mes 4 solutions du polynome : ainsi, je trouve les bonnes solutions ! mais pour rédiger, peut etre ne puis-je pas faire comme ça ?? comment expliquer mon raisonnement ?

[Flyingsquirrel]

Pourquoi ne pourrait-on pas faire comme ça ? Ça n'en a peut être pas l'air mais c'est rigoureux comme raisonnement.

Si on ne considère que les racines positives x₁ et x₂ (notation du message #7), on sait que soit x₁=cos(pi/8) et x₂=cos(3*pi/8), soit x₁=cos(3*pi/8) et x₂=cos(pi/8). (les autres valeurs de cos(t) pour t tel que cos(4t)=0 sont négatives donc ne conviennent pas ici) Sachant que x₁>x₂, il ne reste plus qu'une seule possibilité valable. (à détailler en comparant les deux cosinus) Il n'y a plus qu'à faire pareil pour les racines négatives.

[Jess921]

d'accord ! on me demande de faire pareil avec le rang 5. J trouve par exemple, cos(pi/10) = raicne carrée ((20+racine80)/32)

puis_je simplifier cette expression ?

et dernière question , tout au début du dm, je dois vérifier que T₁(x) = x et que t₂(x) = 2x²-1 avec les seules données (suffisantes^^) : cos(2t)=2cos²(t)-1 et cos (nt)=T_n(cos(t)

[Flyingsquirrel]

on me demande de faire pareil avec le rang 5. J trouve par exemple, cos(pi/10) = raicne carrée ((20+racine80)/32)

puis_je simplifier cette expression ?

Oui, en décomposant .

et dernière question , tout au début du dm, je dois vérifier que T₁(x) = x et que t₂(x) = 2x²-1 avec les seules données (suffisantes^^) : cos(2t)=2cos²(t)-1 et cos (nt)=T_n(cos(t)

C'est immédiat là, nan

[Jess921]

en écrivant racine carrée de 80 = 2racine de 20 ?

et pour T₂(x) je vois( avec mais pour prouver que T₁(x) = x je ne vois pas trop ?

[Flyingsquirrel]

Pour T₁, il faut trouver une relation entre cos(1*t)=cos(t) et cos(t)... il y a des chances pour que ça soit cos(t)=cos(t) À gauche de l'égalité il y a le terme qui correspond à cos(nt) avec n=1 et à droite T₁(cos(t)).

[Jess921]

ok merci beaucoup pour cette aide et cette patience !!!!