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dm sur polynôme et suite



  1. #1
    Jess921

    dm sur polynôme et suite


    ------

    bonjour,

    je suis bloquée sur un dm ou je dois trouver la valeur exacte de cos (pi/8) en ayant trouver auparavant que cos (4t)=0 ssi t= pi/8 +k(pi/2) et que T4(x)= 0 si x= racine carrée(1/2+(racine carrée de 2)/4).

    Sachant que cos (nt) = Tn(cos(t))

    Tn est le polynôme de Tchebychev. De plus, T4(x) = 8x^4-8x²+1

    -----

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  3. #2
    snake83

    Re : dm sur polynôme et suite

    salut

    juste pour info : tu es en quelle classe ? parce que j'ai jamais entendu parlé du polynôme de Tchebychev et j'aurais aimé savoir ce que c'est car je suis en terminale S !

  4. #3
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    je suis en première S ! et polynôme de Tchebychev d'après mon DM :

    cos (nt) = Tindice n (cos(t))

  5. #4
    snake83

    Re : dm sur polynôme et suite

    ok d'accord ! ca doit être un cas particulier pour ton d-m parce que je l'ai pas vu en cours l'année dernière ! mais dans ton d-m, k est un réel ? et T est une fonction ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Salut

    Tu as déjà fait tout le travail ! Tu sais que donc que et comme tu as calculé la racine positive de ...

  8. #6
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    je trouve deux racines positives pour T4 alors comment dois-je faire ?

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  10. #7
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    je trouve x1 = racine carrée de(1/2 + (racine de 2)/4)
    et x2 = racine carrée de (1/2 - (racine de 2)/4)

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Il y un problème de modulo : cos(4t) s'annule pour modulo et cos(t) ne vaut donc pas toujours mais prend ses valeurs dans et ce qui nous donne deux valeurs différentes possibles : et . Ce sont ces valeurs qui sont les racines de T4.

    Pour savoir qui est qui tu peux utiliser les variations du cosinus sur .

  12. #9
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    dans mon dm, c'est écrit que les solutions de cos (t) sont de la forme : t = (pi/8) +k(pi/2) ou t = (-pi/8)+k(pi/2) alors c'est modulo (pi/2) ?!?

    De plus, les racines que je trouve c'est en résolvant le polynôme 8x^4-8x²+1 en procédant au changement de variable : X=x² ????????

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Citation Envoyé par Jess921 Voir le message
    dans mon dm, c'est écrit que les solutions de cos (t) sont de la forme : t = (pi/8) +k(pi/2) ou t = (-pi/8)+k(pi/2) alors c'est modulo (pi/2) ?!?
    Dans ce cas oui, mais ce n'est pas ce que tu as écris dans le premier message .
    Pour trouver il faut trouver toutes les valeurs que peut prendre cos(t) avec t tel que cos(4t)=0 puis faire correspondre une racine de T4 à chaque valeur de cos(t) obtenue. (c'est ce que j'ai commencé à faire à l'avant dernier message)

    De plus, les racines que je trouve c'est en résolvant le polynôme 8x^4-8x²+1 en procédant au changement de variable : X=x² ????????
    Oui

  14. #11
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    quand j'arrive à t4(cos (pi/8)) comment savoir quelle racine trouvée par le polynome dois-je prendre ?

  15. #12
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Comme dit plus haut, les deux racines positives de T4 correspondent à cos(pi/8) et cos(3*pi/8). Sachant que 0 < pi/8 < 3pi/8 < pi/2, compare cos(pi/8) et cos(3pi/8) pour en deduire à quoi correspond la plus petite racine et à quoi correspond la plus grande.

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  17. #13
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    d'accord : j'ai trouvé les bons résultats en rangeant par ordre croissant les solutions possibles de cos pour que cos(4t) =0 puis de même mes 4 solutions du polynome : ainsi, je trouve les bonnes solutions ! mais pour rédiger, peut etre ne puis-je pas faire comme ça ?? comment expliquer mon raisonnement ?

  18. #14
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Pourquoi ne pourrait-on pas faire comme ça ? Ça n'en a peut être pas l'air mais c'est rigoureux comme raisonnement.

    Si on ne considère que les racines positives x1 et x2 (notation du message #7), on sait que soit x1=cos(pi/8) et x2=cos(3*pi/8), soit x1=cos(3*pi/8) et x2=cos(pi/8). (les autres valeurs de cos(t) pour t tel que cos(4t)=0 sont négatives donc ne conviennent pas ici) Sachant que x1>x2, il ne reste plus qu'une seule possibilité valable. (à détailler en comparant les deux cosinus) Il n'y a plus qu'à faire pareil pour les racines négatives.

  19. #15
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    d'accord ! on me demande de faire pareil avec le rang 5. J trouve par exemple, cos(pi/10) = raicne carrée ((20+racine80)/32)

    puis_je simplifier cette expression ?

    et dernière question , tout au début du dm, je dois vérifier que T1(x) = x et que t2(x) = 2x²-1 avec les seules données (suffisantes^^) : cos(2t)=2cos²(t)-1 et cos (nt)=Tn(cos(t)

  20. #16
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Citation Envoyé par Jess921 Voir le message
    on me demande de faire pareil avec le rang 5. J trouve par exemple, cos(pi/10) = raicne carrée ((20+racine80)/32)

    puis_je simplifier cette expression ?
    Oui, en décomposant .

    et dernière question , tout au début du dm, je dois vérifier que T1(x) = x et que t2(x) = 2x²-1 avec les seules données (suffisantes^^) : cos(2t)=2cos²(t)-1 et cos (nt)=Tn(cos(t)
    C'est immédiat là, nan

  21. #17
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    en écrivant racine carrée de 80 = 2racine de 20 ?

    et pour T2(x) je vois( avec mais pour prouver que T1(x) = x je ne vois pas trop ?

  22. #18
    Flyingsquirrel

    Re : dm sur polynôme et suite

    Pour T1, il faut trouver une relation entre cos(1*t)=cos(t) et cos(t)... il y a des chances pour que ça soit cos(t)=cos(t) À gauche de l'égalité il y a le terme qui correspond à cos(nt) avec n=1 et à droite T1(cos(t)).

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  24. #19
    Jess921

    Re : dm sur polynôme et suite

    ok merci beaucoup pour cette aide et cette patience !!!!

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