Déterminer un coefficient directeur

[invite924e7419]

Bonsoir à tous,

je n'arrive pas à résoudre ce problème de maths, j'ai essayé plusieurs méthodes mais elles me mènent toutes à un calcul abracadabrantesque...

Pouvez vous m'aider à trouver la méthode à appliquer s'il-vous-plait?

voici l'énoncé:

On considère le cercle C de centre A(3,0) et de rayon 2.
Pour tout réel m, on note Dm la droite passant par B(2,-2) et de coefficient directeur m.
Déterminer m pour que Dm soit tangente à C.

J'ai essayé avec la distance d'un point à une droite mais les calculs ne me mènent nullepart...
J'ai également essayé le produit scalaire dans le plan et j'ai toujours un problème de calculs.

Merci d'avance à tous!
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[Flyingsquirrel]

Salut

C'est peut être ce que tu as déjà essayé en utilisant la distance d'un point à une droite mais on ne sait jamais : essaie d'exprimer BC en fonction du rayon du cercle et de BA en sachant que la tangente au cercle en C est perpendiculaire à (AC).

[invite1237a629]

Salut !

Ce que tu peux déjà remarquer, c'est que B est en (2,-2).

Le centre du cercle se situe à l'ordonnée 0 et le cercle est de rayon 2.

Donc le point de coordonnées M (3;-2) appartient au cercle ! (ben vi, comme je connais pas la formule du cercle, je le dis avec logique, mais toi tu pourras le montrer ! )

Note par exemple H le pied de la hauteur issue de B sur l'axe des abscisses.


Étudie le vecteur HB avec le vecteur AM ^^





PS : avec un schéma, la solution est quasiment évidente !

[invite924e7419]

Salut

C'est peut être ce que tu as déjà essayé en utilisant la distance d'un point à une droite mais on ne sait jamais : essaie d'exprimer BC en fonction du rayon du cercle et de BA en sachant que la tangente au cercle en C est perpendiculaire à (AC).

Bonjour,merci pour ta réponse mais de quel point parles-tu en désignant C?
Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Le point d'intersection de la tangente avec le cercle sûrement

[invite1237a629]

Sinon, tu peux te débrouiller pour avoir un système de trois équations à trois inconnues (x et y, les coordonnées de C, et m, le coeff directeur de la droite) :
Soit C(x,y) ce point d'intersection.

- (tangente à la courbe)
- C est sur la droite de coeff directeur m et qui passe par B (équation à déterminer, ça ne devrait pas poser de souci)
- C est sur le cercle, donc

C'est plus rigoureux

[invite924e7419]

Salut !



Note par exemple H le pied de la hauteur issue de B sur l'axe des abscisses.


Étudie le vecteur HB avec le vecteur AM ^^





PS : avec un schéma, la solution est quasiment évidente !

merci pour la réponse mais je ne comprends pas ce que donne H... H est un point quelconque sur l'axe des abscisses

merci!

[invite1237a629]

Non, H est le point tel que HB soit perpendiculaire à l'axe des abscisses. Donc il a même abscisse que B.

Fais un schéma boudiou !

[invite924e7419]

Sinon, tu peux te débrouiller pour avoir un système de trois équations à trois inconnues (x et y, les coordonnées de C, et m, le coeff directeur de la droite) :
Soit C(x,y) ce point d'intersection.

- (tangente à la courbe)
- C est sur la droite de coeff directeur m et qui passe par B (équation à déterminer, ça ne devrait pas poser de souci)
- C est sur le cercle, donc

C'est plus rigoureux

Merci beaucoup j'aime beaucoup cette méthode, je vais essayer! Merci!

[invite924e7419]

Non, H est le point tel que HB soit perpendiculaire à l'axe des abscisses. Donc il a même abscisse que B.

Fais un schéma boudiou !

Oui j'avais fait un schéma mais je ne comprenais pas où ça menait! Merci encore!

[invite924e7419]

Bon je galère pour résoudre le système...
Juste, l'équation de la droite Dm c'est bien (Dm): x(m-2)+y(b+2) ?

[invitea3eb043e]

Bon je galère pour résoudre le système...
Juste, l'équation de la droite Dm c'est bien (Dm): x(m-2)+y(b+2) ?

Le coefficient directeur de cette droite ne vaut manifestement pas m.
tu devrais avoir une équation du genre :
y = m x + quelque chose (à déterminer)
Ton idée de distance de A à la droite était bonne et très simple, il faut poursuivre.

[invite924e7419]

Le coefficient directeur de cette droite ne vaut manifestement pas m.
tu devrais avoir une équation du genre :
y = m x + quelque chose (à déterminer)
Ton idée de distance de A à la droite était bonne et très simple, il faut poursuivre.

bah je bloque pour la distance d'un point à une droite:

déjà, pour l'equation de la droite, on fait:

y=mx+b
comme B(2,-2) appartient à cette droite on a:
-2=2m+b
d' ou b=-2-2m
donc ca donne y=mx-2-2m ?

[invitea3eb043e]

Bon, maintenant tu regardes ton cours qui te dit que si l'équation de la droite est
ax + by + c = 0 alors la distance du point A de coordonnées xA et yA à la droite vaut :
|a xA + b yA + c|/ racine (a² + b²)
et ça devrait coller.

[invite924e7419]

Merci beaucoup je crois que j'ai réussi:

ca fait:

(dm):mx-y-2-2m=0

on a donc


ensuite j'ai fait le delta et je trouve donc

[invite9c9b9968]

Coucou,

Bon, maintenant tu regardes ton cours qui te dit que si l'équation de la droite est
ax + by + c = 0 alors la distance du point A de coordonnées xA et yA à la droite vaut :
|a xA + b yA + c|/ racine (a² + b²)
et ça devrait coller.

On ne voit pas cette formule en terminale, si ?

[invite924e7419]

si on l'a voit!

[invite9c9b9968]

si on l'a voit!

"si on la voit"

Ok merci pour l'info.


EDIT : au fait tu as fait une bourde, c'est au dénominateur car , donc tu dois refaire ton calcul

[invitea3eb043e]

Il y a une faute de frappe dans l'équation qui donne m mais le résultat final est juste.

[invite9c9b9968]

Il y a une faute de frappe dans l'équation qui donne m mais le résultat final est juste.

Ça me semble difficile vu que les constantes se simplifient, donc m=0 est solution (ce que l'on peut voir avec le schéma, sans calcul)