Equa diff 1er ordre

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,

j'ai l'équa diff suivante :

Elle est déjà normalisée, je la rend homogène:

Ensuite, je cherche la primitive du terme de degré 1, et là je fais d'abord une décomposition en élément simple:



Je cherche donc la primitive:

Pour c'est
Pour c'est

Donc la solution de l'équation homogène est:



Et là, je suis déjà pas sûr d'etre bon. Pourriez-vous svp déjà me corriger cette étape ? Merci.

Ensuite, pour la solution particulière, j'utilise la méthode de variation de la constante :
devient :

Je calcule maintenant la dérivée pour cette méthode et là, je trouve un truc louche:


A ce stade, je devrais donc réintroduire tout ça dans et les thermes en devraient s'annuler mais je crois déjà pas être bon, pourriez-vous svp me corriger aussi cette étape ?

Merci pour tout
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[invite57a1e779]

j'ai l'équa diff suivante :

Elle est déjà normalisée, je la rend homogène:

Je ne sais pas ce que tu entens par "normalisée", mais "homogène", l'équation l'est depuis le début, puisque le second membre est nul.

Si tu avais une équation du type , avec un second membre non nul, il faudrait lui associer l'équation homogène .

Ensuite, je cherche la primitive du terme de degré 1, et là je fais d'abord une décomposition en élément simple:



Je cherche donc la primitive:

Pour c'est
Pour c'est

Donc la solution de l'équation homogène est:



Et là, je suis déjà pas sûr d'etre bon. Pourriez-vous svp déjà me corriger cette étape ? Merci.

Jusque là, tout est bien, il faudrait simplement rajouter des valeurs absolues dans les logarithmes, et les supprimer après passage aux exponentielles...

Mais il n'y pas besoin de continuer en utilisant la méthode de variation de la constante.
La recherche des solutions en remplaçant la constante par une fonction ne sert que pour passer des solutions de l'équation homogène aux solutions d'une équation avec second membre , ce qui n'est pas ton cas.

Lorsque tu en es rendu à , tu as l'ensemble des solutions de l'équation initiale.

[invite1237a629]

Plop,

Pitite remarque (comparée à celle du Dieu, elle n'aura ptet pas d'importance, mais bon )

Je cherche donc la primitive:

Il existe une infinité de primitive. Ainsi, il serait plus juste de dire "une" primitive.
La constante d'intégration n'est pas importante puisqu'elle se retrouve dans K, mais c'est plus correct ainsi

[invite57a1e779]

Et pour être parfaitement rigoureux, avant d'écrire

il faut dire que l'on raisonne avec et non nuls.

On obient donc les solutions sur chacun des intervalles , et .

Il faut étudier les raccords des solutions en 0 et en 1.
On montre que est solutions sur , mais que seule la solution nulle se raccorde en 1, et est solution sur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Vu qu'on passe par les ln, ne faut-il pas dire que c'est positif ?

[inviteb4d8c3b4]

Mais il n'y pas besoin de continuer en utilisant la méthode de variation de la constante.
La recherche des solutions en remplaçant la constante par une fonction ne sert que pour passer des solutions de l'équation homogène aux solutions d'une équation avec second membre , ce qui n'est pas ton cas.

Lorsque tu en es rendu à , tu as l'ensemble des solutions de l'équation initiale.

Mais là je comprends pas. Dans mon cours, il est dit que une fois qu'on a trouvé la solution de l'équation homogène, il faut trouver une solution particulière, car la solution générale est donnée ainsi :


Avec:
étant la solution de l'équation générale initiale,
étant la solution de l'équation homogène,
étant une solution particulière

C'est pour ça qu'après je pars sur la variation de constante, c'est bien la méthode pour chercher une solution particulière !? En plus, il en faut forcément une vue que le demande !?

PS: merci à vous deux de m'aider, effectivement je cherche une primitive, j'ai inversé le terme "normalisée" et "homogène" au début et j'ai oublié de spécifié que le domaine d'application donné dans l'énoncé est . Merci encore.

[invite57a1e779]

Vu qu'on passe par les ln, ne faut-il pas dire que c'est positif ?

Non, comme je l'ai dit dans ma première réponse, il faudrait mettre de valeurs absolues, puis les supprimer.
Rappel : une primitive de . est , pas ).

Je reprends les calculs essentiels.
On se place à et non nuls, donc sur l'un des intervalles , ou , on peut écrire l'équation différentielle sous la forme
.
Une primitive de est , et les solutions sont .
Soit le signe de , celui de , on a .

L'important est que, sur chacune des intervalles de résolution, et sont des constantes :
on peut donc réécrire avec une nouvelle constante en lieu et place de .

[inviteb4d8c3b4]

Je suis d'accord sur ces histoires de signes. Mais pourrait-on m'éclairer sur le message n°6 svp. Merci d'avance à vous deux !

[invite57a1e779]

Mais là je comprends pas. Dans mon cours, il est dit que une fois qu'on a trouvé la solution de l'équation homogène, il faut trouver une solution particulière, car la solution générale est donnée ainsi :

On est d'accord là-dessus, reste à voir comment on l'utilise dans ton exercice.

Le cours parle d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme

On appelle second membre le terme .
Pour résoudre cette équation, on considére l'équation homogène associée, obtenue en remplaçant le second membre par 0 :


Il faut alors déterminer
la solution générale de l'équation homogène,
une solution particulière de l'équation initiale,
alors est la solution de l'équation générale initiale.

Dans ton cas particulier, l'équation initiale est déjà homogéne, sa solution générale est directement . En fait, une solution particulière est , et il n'y a pas besoin de méthode de variation de la constante pour la trouver... donc .

Par contre pour résoudre l'équation homogène, il faut la normaliser, donc faire attention à ne pas diviser par 0 en cours de route.

[inviteb4d8c3b4]

Dans ton cas particulier, l'équation initiale est déjà homogéne, sa solution générale est directement . En fait, une solution particulière est , et il n'y a pas besoin de méthode de variation de la constante pour la trouver... donc .

Ok, j'ai bien saisi ton raisonnement. Mais alors, il y a un truc qui me parait trop facile. Ca veut dire que dans tous les cas, est une solution particulière parcequ'alors, on peu avoir tout le temps !

[invite57a1e779]

Ok, j'ai bien saisi ton raisonnement. Mais alors, il y a un truc qui me parait trop facile. Ca veut dire que dans tous les cas, est une solution particulière parcequ'alors, on peu avoir tout le temps !

Non, si l'équation initiale est , tu considères l'équation homogène associée qui est celle de ton exercice tu trouve la solution générale de cette équation .
Maintenant tu cherches une solution particulière de l'équation initiale par variation de la constante, donc sous la forme . Ici ne convient visiblement pas !!!
Tu en déduis la solution générale de sous la forme .

Il faut bien comprendre que la variation de la constante se pratique sur l'équation initiale , pas sur l'équation homogène .

[invite06c3bcf0]

bonjour à tous !
ça m'intéresse aussi car c'est bien loin tout ça et jusqu'à la solution de l'équation sans second membre j'arrive à suivre mais la variation de la constante, je ne pige pas. Pourrais tu développer l'exemple de ton post ?
comment connaitre ysp ?

[invite57a1e779]

On cherche une solution particulière de l'équation sous la forme .

On a donc , donc est solution de l'équation différentielle si, et seulement si :
, soit .
On doit donc avoir et convient.

On a donc la solution particulière , et la solution générale où est une constante à déterminer d'après la condition initiale.