somme de fonctions bornée

[invite425270e0]

Plop,

Il s'agit de montrer que la somme de deux fonctions bornée sur un intervalle I est bornée sur I.

f bornée sur I donc





La somme est bornée sur ??

Cordialement, Universmaster.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut

Oui, sauf que f et g n'ont a priori pas de raison d'avoir le même minorant et le même majorant. (à moins que tu aies choisi m et n pour que ça soit le cas mais alors il vaut mieux le dire)

Il faudrait aussi rajouter que ce que tu écris est vrai pour tout x dans I et que "il existe m,n dans R tels que ..."

[invite425270e0]

si f et g sont bornée sur I, il faut bien les encadrer par les mêmes réels?
Pi ensuite on trouve un encadrement différent de I nan?

[Flyingsquirrel]

Non, pas forcément : on peut avoir pour tout x dans I, m,n,p,q dans R, et d'où et m et p sont a priori respectivement différents de p et q.

Si tu veux que f et g soient encadrées par les mêmes nombres il faut détailler davantage. Par exemple : et d'où ce qui est aussi vrai mais moins précis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite425270e0]

Je crois que je comprends mal la définition de 'bornée'

I=[a;b] donc f et g sont compris entre a et b donc leur somme entre 2a et 2b non ? ce qui n'est plus dans I

[Flyingsquirrel]

Effectivement, c'est un problème de définition. On dit qu'une fonction f est bornée sur un intervalle I si il existe deux réels m et n tels que, pour tout x dans I, . Autrement dit, si on représente la fonction f sur I, ainsi que les fonctions y=m et y=n, on constate que la courbe de f reste toujours entre les deux droites horizontales y=m et y=n.

Et il n'y a en général aucun rapport entre m, n et les bornes de I a et b. (même si on parle effectivement de bornes...)

Des exemples : le cosinus est borné sur R. (toujours compris entre -1 et 1), est également borné sur R. (toujours compris entre 0 et 1)

[invite425270e0]

Ok je vois, la somme est bornée sur I, peut importe les réels a< f(x) + g(x)<b
Merci