bac L spé maths nouvelle-calédonie 2005

[invite7aec550d]

Un carré d’aire 1 m2 est divisé en 9 carrés égaux comme indiqué sur la figure ci-contre. On colorie le carré central. (1er coloriage)

Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux comme indiqué sur la figure ci-contre.
On colorie les huit carrés centraux obtenus. (2ème coloriage).

On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage
du carré.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par An
l’aire en m2 de la surface totale coloriée après n coloriages.
On a ainsi : A1 = .
La surface grisée sur la figure ci-dessus a donc pour aire A2.
On remarquera que chaque étape du coloriage consiste à colorier un neuvième de la surface non coloriée jusque là.

1. a. Justifier que A2 = A1 + ( 1 − A1 ) puis calculer la valeur numérique exacte de A2.
b. Expliquer pourquoi, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, An+1 = An + .

2. On pose pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : Bn = An − 1.

a. Calculer B1.

b. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, Bn+1 = 8/9 Bn.

c. Quelle est la nature de la suite (Bn) ? Exprimer alors, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
le terme général Bn de la suite (Bn) en fonction de n.

3. a. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : An = 1 − ( 8/9 )n.

b. Calculer alors la limite de la suite (An). Que peut-on en déduire ?

Pour voir la figure: http://ldif.education.gouv.fr/wws/d_...%2006%20TL.doc

Quelqu'un peut-il m'aider à débuter l'exercice svp??
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[invite134e1f5a]

Bonjour à tous
Tout d'abord merci de m'avoir accueilli au sein de votre communauté.
Je suis actuellement en Terminale L et je ne vous dirai que la stricte vérité; inutile de faire de belles périphrases hypocrites.
J'ai en DM cet exercice connexe au fameux carré de Sierpinski. Je n'arrive pas vraiment à démarrer.
Mais je vous promets que j'ai fait quelque chose du moins pour la première question; après je bloque et j'angoisse du fait que c'est un exercice que j'aurai peut-être au bac tourné différemment certes.

Pour la 1)a) j'ai écrit ceci :
Soit A l'aire totale du carré initial tel que A =1 m²
Soit A1 l'aire en m² coloriée au départ, alors si on respecte la remarque dans l'énoncé, A2 correspond à la 2e étape consistant à colorier un neuvième de la surface encore non coloriée. Etant donné qu'A2 est le 2e terme d'une suite (géométrique????), il faut y ajouter la valeur du 1er terme (propriété de récurrence).
D'où A2 = 1er terme + raison * (Aire totale - Aire déjà coloriée)
A2 = A1 + ((1/9)*(1-A1))

Voilà j'espère que cette première réponse est compréhensible?
Du reste pourriez vous m'aider à embrayer sur les questions suivantes car j'ai remarqué qu'elles dépendent pas mal les unes des autres (surtout si on arrive pas à démontrer la valeur de An+1...)

J'espère que vous pourrez m'aiguiller un peu svp...

Bien cordialement et merci d'avance.

[invite7aec550d]

Déjà, rassure toi, ce que tu as fait pour la question 1)a) est bon!
En effet, on colorie un neuvième de ce qui n'est pas coloriée, soit (1/9)*(1-A1), auquel s'ajoute ce qui était déjà coloriè, à savoir A1.
En remplaçant par des valeurs numériques, tu devrais obtenir A2 = (17/81)

b) il faut trouver An+1
An est la surface colorièe donc 1-A1 est la surface non coloriée.Ensuite tu colorié un neuvième de cette surface soit (1/9)*(1-An) auquel s'ajoute ce que tu as déjà coloriée, à savoir An.

docn tu obtient, An+1 = An + (1/9)*(1-An)
Il ne te reste plus qu'à remplacer par les vraies valeurs.


La question 2) est plus simple!
a) tu dois trouver B1 = (-8)/9
b) tu dois avoir Bn+1 = (8/9)Bn
c) c'est une suite géométrique
En appliquant ta formule de cour, tu dois aboutir à -(8/9)^n

Pour la question 3)
a) Ici, il faut te servir de la relation Bn = An-1
b)Avec les limites, tu doi en déduire que la limite An est l'aire du carré

Voilà, j'espère que tu vas pouvoir finir ton exercice!