Triangles semblables/isométriques, exo

[invite7094fe3d]

Bonsoir,

Je passe sur ce forum car j'ai quelques difficultés sur un exercice qui m'a été donné. Certes, il n'est pas noté, mais j'ai envie de le comprendre pour le contrôle qui arrive bientôt.

J'ai réussi à faire la figure (heureusement), mais je ne sais pas comment vous la montrer. Pourriez-vous me conseiller un logiciel ?

Je mets l'énoncé :

Soit ABC un triangle avec l'angle CAB aigu.
Sur les côtés [AB] et [AC], on construit les carrés AEDB et ACFG.
On appelle O et O' les centres respectifs des carrés et I le milieu de [BC].
On appelle J le point d'intersection de (AC) avec (BG) et K le point d'intersection de (EC) avec (BG).

1) En utilisant des triangles isométriques (LE DEMONTRER), prouver que EC=BG.

Là je n'ai pas trouvé.

2) Montrer que les triangles GAJ et CKJ sont semblables. En déduire que les droites (EC) et (BG) sont perpendiculaires.

Les angles CJK et GJA sont opposés, donc de même mesure. Je ne vois pas comment on peut dire que AJ=JC.

3) En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles BCG et BCE, en déduire que le triangle OIO' est isocèle rectangle en I.

Le théorème de Thalès ne peut pas marcher là ! Enfin je n'en sais rien.

Merci beaucoup de votre aide !
Encore désolé pour la figure.
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[invitea3eb043e]

1) En utilisant des triangles isométriques (LE DEMONTRER), prouver que EC=BG.

Là je n'ai pas trouvé.

.

Compare les triangles ABG et ACE

Ensuite regarde les angles AGB et ACE en utilisant la première question

[invite35452583]

Je ne vois pas comment on peut dire que AJ=JC.

"Triangles semblables" ne signifie pas "triangles isométriques".
Attention : les côtés [AC] et [AJ] ne se correspondent pas dans la relation de similitude entre les deux triangles.

Indices pour le 3) :
a) si le théorème de Thalés ne te convient pas utilise le théorème des milieux.
b) un angle droit se conserve quand on prend des parallèles adéquates.

Je le trouve joli cet exercice.

[invite7094fe3d]

Joli ? C'est notre professeur qui l'a fait apparement.

Je vous remercie de vos réponses, je vais essayer et je poste ce que j'ai fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7094fe3d]

Compare les triangles ABG et ACE

Ensuite regarde les angles AGB et ACE en utilisant la première question

On peut dire que : AC = AG car ACFG est un carré et que AB = AE car AEDB est un carré. Donc on en conclue que que EC=BG. Non ? Mais on nous demande de la démontrer.

[invite35452583]

On peut dire que : AC = AG car ACFG est un carré et que AB = AE car AEDB est un carré.

Pour démontrer que deux triangles sont isométriques il faut montrer au moins trois égalités.
Réflexion sur l'énoncé (ou "qu'est ce qu'ils veulent que je montre ?") : tu as deux égalités de longueurs il te manque une égalité pour montrer que les deux triangles sont isométriques. Si tu pouvais montrer directement la 3ème égalité de longueur (EC=BG) on ne te demanderai pas la déduire donc c'est une inégalité d'angle. Pour que deux égalités de longueur+une égalité d'angle=>triangles isométriques il faut que cet angle soit placé convenablement d'après mon cours. Donc je peux deviner quelle égalité d'angle je dois montrer.
Tu verras que démontrer cette dernière égalité n'est pas bien dur.

Joli est une appréciation de quelqu'un qui sait résoudre l'exercice, je peux concevoir que tu ne sois pas de cet avis (pour l'instant ).

[invite7094fe3d]

Tu conçois très bien

Donc AC = AG, AE = AB, l'angle AEC = GBA (angle alterne-interne ou un truc comme ça, non ?), donc EC=BG.

[invite7094fe3d]

Je ne suis pas sûr...

Un avis ?

[invite35452583]

Les égalités sont les bonnes mais la justification de l'égalité d'angle n'est pas bonne. Un indice de plus : si a=b et c=d alors a+c=b+d.

[invite7094fe3d]

Je ne vois pas du tout comment justifier cette égalité d'angle.

[invite35452583]

Au temps pour moi. Ton égalité à montrer n'est pas celle que tu as indiquée.
Comment doivent être situés les angles égaux par rapport aux côtés de même longueur 2 à 2 pour être dans un des cas d'isométrie de deux triangles (je suis persuadé que pendant le cours ton prof l'a dit au moins une vingtaine de fois ) ? Si tu ne sais plus réouvre ton cours à ce chapitre.

[invite7094fe3d]

L'angle doit être formé par les côtés de même longueur.

Donc l'angle GAB = EAC.

[invite35452583]

L'angle doit être formé par les côtés de même longueur.

Donc l'angle GAB = EAC.

Oui. Maintenant pourquoi ces deux angles sont-ils égaux ? (Un indice a déjà été donné.)

[invite7094fe3d]

Je n'arrive pas à trouver à prouver qu'ils sont égaux.

[invite7094fe3d]

Je ne trouve vraiment pas !

[invite35452583]

Ils sont tous les deux sommes de BAC+un angle d...t.

[invite7094fe3d]

Bonjour

J'ai eu deux heures d'étude, j'ai fait ça :

1)
AB = AE
GA = AC

L'angle BAG = BAC+CAG
=BAC +90°

L'angle CAE = EAB+BAC
=90°+BAC

Donc BAG = CAE.
Donc ABG et AEC isométriques, donc EC=BG.

2)
a)Angle AJG=KJC car opposés par le sommet.
Comme AGB et AEC isométriques, AGB=ACE.
Donc GAJ et CKJ sont semblables.

b)GAC=CKJ
GAC=90°
Donc CKJ = 90°
Donc (EC) parallèle à (BG)

3)
O' milieu de [GC]. I milieu de [CB]
Théorème des milieux : O'I = 1/2BG

O milieu de [BE]
I milieu de [CB]
Donc OI = 1/2CE

CE = BG donc OI = O'I.
Donc le triangle OIO' est une triangle isocèle en I.

Je pense avoir fait pas mal d'erreurs.
Je dois le recopier pour demain, donc j'attends d'abord votre avis.

Merci beaucoup.

[invite35452583]

Ce que tu as fait est bien.
A mon goût il y a des manques mais il n'y a pas d'erreur, hors mis ce que je crois être une coquille.
Pour le 1), dans la rédaction préciser que les angles égaux sont entre les côtés de même longueur 2 à 2.
Pour le 2)b) rappeler les alignement qui permettent de passer de CKJ = 90°
à (EC) perpendiculaire (et non parallèle, c'est la coquille) à (BG).

Et, je ne sais pas si tu as oublié la question ou tu n'as pas eu le temps de le faire : il faut aussi montrer que IOO' est rectangle en I.

[invite7094fe3d]

Oui, erreur d'inattention pour les parallèles.

Pour la 2.a) je ne pense pas que un côté et un angle suffisent, si ?
2.b) CKJ = 90° quels alignements ? parce qu'en fait comme GAJ et CKJ, ils ont l'angle à 90° en commun.

Et pour la dernière question, je l'ai complètement oubliée

Je ne vois pas trop quoi mettre.

[invite7094fe3d]

Je vais bientôt devoir le recopier.