[TS+] Intégrales sympas

[invite263d7f23]

Mais arctan de l'infini, ça donne environ pi/2

Ah ben, tout s'explique..
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[Seirios]

pour faire le changement de variable :

Il faut d'abord prouver qu'il s'agit d'un -difféomorphisme. Sans compter qu'il faut pour appliquer le théorème se restreindre aux ouverts...

Moi j'ai : Si f est continue [Il serait peut-être préférable d'écrire continue par morceaux ?] sur un rectangle polaire R donné par , où , alors .

Dans quelles mesures cette définition est-elle appliquable ?

vous intégrez par rapport à plusieurs variables, en intégrant d'abord par rapport à r, puis par rapport à . Est-ce vraiment licite ?

Je connais cette version du théorème de Fubini : Si f est continue [par morceaux ?] sur le rectangle [TEX]R= { (x,y) | a \leq x \leq b, \ c \leq y \leq b }[TEX], alors .

[Seirios]

Je reviens avec deux intégrales qui, me semble-t-il, n'ont pas encore été proposées (mais j'avoue ne pas avoir relu les 49 pages du topic pour vérifier ) :





Je les ai trouvées dans la table d'intégrales de wikipédia ; cependant, je ne les ai pas encore calculées, donc je ne sais à quel niveau cela correspond.

[Flyingsquirrel]

Pour celles-là je ne connais pas de méthode de calcul qui n'utilise pas des outils niveau L2.

Il y a d'ailleurs une jolie identité qui donne la valeur de ces deux intégrales :

 Cliquez pour afficher

avec , et étant respectivement la fonction zêta de Riemann et la fonction gamma.

[Hamb]

celles-ci peuvent pas se faire au niveau bac je pense ^^, mais si on utilise les séries sans justifier les interversions alors c'est faisable.

edit: cramed :]

[Seirios]

Pour celles-là je ne connais pas de méthode de calcul qui n'utilise pas des outils niveau L2.

Il y a d'ailleurs une jolie identité qui donne la valeur de ces deux intégrales :

 Cliquez pour afficher

avec , et étant respectivement la fonction zêta de Riemann et la fonction gamma.

Merci pour cette identité, elle permet effectivement de retrouver les résultats annoncés.

Initialement, je pensais qu'un changement de variable bien choisi devait permettre de simplifier le problème, mais je suis rassuré, cela ne devant pas être la cas, il est normal que je ne l'ai pas trouvé

[Thorin]

Initialement, je pensais qu'un changement de variable bien choisi devait permettre de simplifier le problème, mais je suis rassuré, cela ne devant pas être la cas, il est normal que je ne l'ai pas trouvé

La méthode classique est de dire que

puis d'écrire, après avoir vérifié les hypothèses adéquates, que

[Seirios]

La méthode classique est de dire que

N'y aurait-il pas un moins : ?

En utilisant cette méthode, je trouve que l'intégrale ne converge pas...Voilà ce que j'ai écrit :

; ensuite je fais une intégration par partie dans l'intégrale, et : , ce qui donne ...

Je suppose qu'il y a une erreur dans ce que j'ai écrit.

puis d'écrire, après avoir vérifié les hypothèses adéquates, que

Quelles sont ces hypothèses ?

[Thorin]

hem hem, toutes mes excuses, ce que j'ai écrit est faux depuis le début (mais en même temps, tu aurais du t'en apercevoir aussi )
on écrit :
pour le coup, ça doit mieux marcher

pour écrire , il suffit que :
les f_n soient intégrable, la série des f_n converge simplement, et converge.

[Seirios]

hem hem, toutes mes excuses, ce que j'ai écrit est faux depuis le début (mais en même temps, tu aurais du t'en apercevoir aussi )

C'est vrai que cela fait longtemps que je n'ai pas utilisé les séries ; je dois être un peu rouillé...

on écrit :
pour le coup, ça doit mieux marcher

Effectivement, en bref je trouve :

.

[Seirios]

Cela fonctionne également avec la deuxième intégrale : , c'est simplement plus long puisqu'il faut effectuer trois intégration par partie pour supprimer le x à la puissance trois.

[invitec1ddcf27]

Salut,

Moi j'ai : Si f est continue [Il serait peut-être préférable d'écrire continue par morceaux ?] sur un rectangle polaire R donné par

C'est quoi une fonction continue par morceaux ? J'ai quelques doutes sur une telle définition...

[invitec1ddcf27]

Salut,

pour écrire , il suffit que :
les f_n soient intégrable, la série des f_n converge simplement, et converge.

Il y a bien d'autres théorèmes pour pouvoir permuter série et intégrale... D'abord, celui avec la convergence uniforme sur un segment (qui a le mérite d'être très simple a démontrer). Ensuite celui qui provient du théorème de Beppo-Levi : si est une suite de fontions mesurables positives, alors



(il est facile à voir puisque la suite de terme général f_1 + ... f_n est croissante positive). Ensuite, il y celui qui provient du théorème de convergence dominée. Si



converge simplement et si



alors je peux permuter (conséquence immédiate de la convergence dominée). Et le dernier que tu cite... qui est aussi une conséquence de la convergence dominée (mais je pense pas que cela soit trivial, pour l'instant je trouve pas la preuve...)
Bref les calculs que je vois ici me laisse pantois (je ne suis pas un très bon technicien), mais ca ne fait pas de mal de savoir d'ou ils sortent et s'ils sont licites ! D'autant plus que les problèmes limites/intégrales sont des trucs importants et délicats à faire.

[Seirios]

C'est quoi une fonction continue par morceaux ? J'ai quelques doutes sur une telle définition...

Cela ne veut peut-être rien dire ; il est vrai que je n'ai peut-être pas fait attention au fait qu'il s'agissait d'une fonction à deux variables, je devais penser au cas d'une seule variable.

[invite2220c077]

Je remonte ce thread des abîmes pour vous proposer quelques primitives à calculer que j'aime bien.

a)

b)

c)

d)

[Seirios]

a)

Je propose une solution, je ne sais pas s'il y a plus simple :

 Cliquez pour afficher

On calcul d'abord ; par intégration par partie : , d'où .

On calcul ensuite ; par intégration par partie : , d'où .

Considérons donc l'intégrale . On se place sur et on effectue le changement de variable : . On a alors , soit par intégration par partie : , donc finalement, sauf erreurs de calcul : .

[Seirios]

b)

Je propose :

 Cliquez pour afficher

On se place sur ; on effectue le changement de variable , d'où . Ensuite, on fait le changement de variable avec : , d'où en linéarisant les cosinus : . Finalement, .

[silk78]

d)

Je propose :

 Cliquez pour afficher

Soit

On pose u=sin(x), soit du=cos(x)dx et cos²(x)=1-u² donc :


On pose , soit donc :


On rappelle que 1-v⁴=(1-v²)(1+v²) donc :


Donc avec C constante.

J'ai juste ?

Silk

[Seirios]

c)

 Cliquez pour afficher

On se place sur ; , d'où avec le changement de variable : soit .

Je propose :

 Cliquez pour afficher

Soit

On pose u=sin(x), soit du=cos(x)dx et cos²(x)=1-u² donc :


On pose , soit donc :


On rappelle que 1-v⁴=(1-v²)(1+v²) donc :


Donc avec C constante.

J'ai juste ?

Il faut préciser le domaine sur lequel on se place, sinon le résultat n'est pas nécessairement juste ; tu t'es placé ici sur . Sinon je trouve la même chose.

[Sethrius]

Je me lance, bien que je ne sois pas parfaitement sur de ce que j'ai fait. J'attends vos commentaires si erreur(s) il y a.

c)

 Cliquez pour afficher

On pose que

Ainsi,



Puis grâce à une intégration par partie, on définit :




Finalement,

[Thorin]

salut,

e^x*e^ln(x) n'est pas égal à e^(x*ln(x))