[TS+] Intégrales sympas

[invitec317278e]

Je trouve le changement de variable X=x-pi/2 plus esthétique, mais ça marche aussi avec pi/4
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[invitec317278e]

Je ne vois pas en quoi cette égalité implique que l'intégrale soit nulle

C'est pourtant quasi la même justification que l'imparité de la fonction.
Sauf que 0 est le centre de symétrie d'une fonction impaire, et que là, c'est pi/4...

Mais même lorsque l'on dit que la fonction est impaire, il n'est pas trivial que l'intégrale sera nulle (à condition d'avoir les bornes idoines, bien sûr). c'est juste que c'est une propriété qui fait partie directement du cours, mais en soit, dire que f(x)=-f(-x), ça ne prouve rien non plus.

[bubulle_01]

Je ne vois pas en quoi cette égalité implique que l'intégrale soit nulle

 Cliquez pour afficher

[Seirios]

C'est pourtant quasi la même justification que l'imparité de la fonction.
Sauf que 0 est le centre de symétrie d'une fonction impaire, et que là, c'est pi/4...

Mais dans ce cas, on a pas ?

[invitec317278e]

Mais dans ce cas, on a pas ?

Un petit raisonnement graphique te montrera que signifie juste que la fonction est impaire. (ce que l'on montre simplement en posant X=x-pi/4...)

Non, dire que le point (pi/4,0) est centre de symétrie, c'est l'égalité citée par Romain :

[invitec317278e]

Et plus généralement, dire que le point de coordonnées (a,b) est centre de symétrie, c'est dire que

[invite263d7f23]

J'ai un problème, j'ai calculé de 0 à 2pi...
Comme j'aime pas trop changer les bornes lors d'un changement de variable, j'ai décidé de trouver une primitive, puis de calculer l'intégrale..
Seulement, je trouve 0, et ma calculette trouve un résultat positif, ce qui est logique, vu que la fonction qu'elle me montre est strictement positive.
Alors, la question: mais qu'est-ce qui se passe ?
Je ne sais pas quoi penser, et ça va me miner... comme primitive,pour info, je trouve:

(et integrator est d'accord)

[inviteaeeb6d8b]

Je ne sais pas quoi penser, et ça va me miner... comme primitive,pour info, je trouve:

(et integrator est d'accord)

Le problème, c'est que ta primitive n'est pas définie en pas mal d'endroits sur


Romain

[invitec317278e]

Ceci peut t'aider.

[Seirios]

Un petit exercice :

En admettant que (ceux qui veulent le démontrer peuvent utiliser la méthode utilisée par Thorin au message #681), calculer les intégrales suivantes :

.

[invite7ec123bc]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Pour la premiere

On integre par parties avec et
et on a alors

ce qui donne car entre 0 et l'infini

C'est à vérifier....

[inviteaeeb6d8b]

Ah, je ne savais pas qu'on avait parlé de l'intégrale de Gauss, par ici :

le passage du produit de l'intégrale simple à l'intégrale double est permis car les fonctions sous les intégrales sont à une variable.

C'est un peu plus compliqué que ça.
Il s'agit du théorème de Fubini, qui existe sous deux versions :
- le théorème de Fubini-Tonelli (à moins qu'il y ait deux n...) qu'on applique ici. Si la fonction à intégrer est mesurable (mais qu'est-ce qu'une fonction mesurable ?) et positive, on peut intégrer dans le sens qu'on veut.
- le théorème de Fubini à proprement parler. Si la fonction à intégrer est dans .

Etant donné qu'on a continue => mesurable, vous voyez qu'on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli sans problème.

Pour ce théorème, on ne l'avait pas prouvé en spé, mais je sais que dans certaines prépas, ça se fait. Bon, c'est du costaud

Romain

[inviteaeeb6d8b]

En admettant que

Malheureusement, ceci est faux...


Romain

[invite7ec123bc]

Malheureusement, ceci est faux...


Romain

Je crois que j'ai dû faire une petite erreur: on paire donc ce qui ferait que la premiere integrale à chercher en reprenant le raisonnement de tout à l'heure

[invitec317278e]

C'est un peu plus compliqué que ça.
Il s'agit du théorème de Fubini

Certes.

(le message que je poste est super utile, hein...)

[Seirios]

Malheureusement, ceci est faux...


Romain

(je passe les détails)

Donc on a bien

Le résultat que tu donnes correspond à l'intégrale d'Euler.

[invite263d7f23]

Le problème, c'est que ta primitive n'est pas définie en pas mal d'endroits sur


Romain

Oui, effectivement, je n'ai compris qu'après que la fonction tangente n'est pas définie en pi/2..
Si ma connexion internet ne se serait pas endormi hier, j'aurais demandé s'il fallait donc calculer l'intégrale en prenant des morceaux où la primitive serait continue... et apparemment, c'est c'qu'il faut faire d'après l'indice.
Mais, de 0 à pi/2, c'est +oo.
Hmm...

[invitec317278e]

de 0 à pi/2, c'est +oo.
Hmm...

Ceci est faux.

[inviteaeeb6d8b]

Oops, tu as raison Phys2

Donc on a bien

C'est juste, et on a :


Je suis passé trop vite sur le message de Thorin Je suis habitué à ce facteur 1/2.

Pour la dénomination :
est effectivement appelée intégrale d'Euler sur Wikipédia...

Pourtant on appelle généralement la fonction la Gaussienne. Il s'agit de la densité de la loi normale centrée réduite, introduite par... Gauss.

Dans mon cours de proba de L3, l'intégrale de cette fonction est appelée intégrale de Gauss (et dans un bouquin de proba de L3-M1 également).

Phys2, je te prie d'accepter mes plus plates excuses

Romain

[invite263d7f23]

Ceci est faux.

Mais, Tan(pi/2),ça tend vers +infini, non ?
Bon, je me pencherai dessus sérieusement demain.

[invitec317278e]

Tan(pi/2),ça tend vers +infini, non ?

Mais arctan de l'infini, ça donne environ pi/2

[inviteaeeb6d8b]

Si je puis me permettre un commentaire.

Les intégrales données ici sont sensées être de niveau TS-L1.

A mes yeux, il y a quand même un problème. Les intégrales que vous manipulez, vous ne les avez pas encore définies, et vous utilisez des théories et des théorèmes que vous n'avez pas encore vus.

le calcul de l'intégrale de Gauss par exemple. Quelle est pour vous la définition de ?
est-ce vraiment licite de primitiver et de prendre la primitive en "l'infini" comme si l'infini était un réel comme les autres (l'infini n'est pas un réel).

pour faire le changement de variable :

Il faut d'abord prouver qu'il s'agit d'un -difféomorphisme. Sans compter qu'il faut pour appliquer le théorème se restreindre aux ouverts...

vous intégrez par rapport à plusieurs variables, en intégrant d'abord par rapport à r, puis par rapport à . Est-ce vraiment licite ?
Et comment définissez-vous l'intégration par rapport à plusieurs variables ?

Bref, tout ça pour dire que vous faites des calculs sur des objets que vous connaissez mal (ou pas).

Normalement, la première chose à dire quand on voit :

C'est : "cette intégrale est-elle définie ?"

Peut-être en n'aviez-vous pas conscience.

Romain

[invitec317278e]

L'intégration par rapport à 2 variables, c'est vu en L1 (pas dans le cas où il y a des infinis, bien sûr), seulement, tout est admis.

Pour le reste, je suis d'accord. Par contre, comme je ne connais justement pas ces théorèmes, quand j'ai calculé sur ce topic des intégrales avec des infinis, j'ai toujours comparé avec la calculette pour voir si ce que je disais n'était pas trop faux.

[Seirios]

Pour la dénomination :
est effectivement appelée intégrale d'Euler sur Wikipédia...

Pourtant on appelle généralement la fonction la Gaussienne. Il s'agit de la densité de la loi normale centrée réduite, introduite par... Gauss.

Je ne connaissais ce rapprochement avec le Gaussienne, merci pour cette remarque

Phys2, je te prie d'accepter mes plus plates excuses

Ce n'est pas bien grave

A mes yeux, il y a quand même un problème. Les intégrales que vous manipulez, vous ne les avez pas encore définies, et vous utilisez des théories et des théorèmes que vous n'avez pas encore vus.

Ne serait-il pas intéressant de faire un petit résumé des différentes conditions nécessaires à l'utilisation des théorèmes cités dans les calculs des intégrales précédentes ? (en tout cas, moi cela m'intéresse, parce qu'il y en a quelques unes que je ne connais pas)
(je vais voir dans mon cours de calcul différentiel et intégral, si je peux trouver quelques éléments pour faire un tel résumé)

[inviteaeeb6d8b]

Ce n'est pas bien grave

Ca va mieux

Ne serait-il pas intéressant de faire un petit résumé des différentes conditions nécessaires à l'utilisation des théorèmes cités dans les calculs des intégrales précédentes ? (en tout cas, moi cela m'intéresse, parce qu'il y en a quelques unes que je ne connais pas)
(je vais voir dans mon cours de calcul différentiel et intégral, si je peux trouver quelques éléments pour faire un tel résumé)

Je me lance dans un petit topo (très bref) des définitions.

Je suppose que vous connaissez la définition de l'intégrale de Riemann sur un segment fermé, d'une fonction continue par morceaux.

Comment généralise-t-on ceci pour intégrer une fonction continue sur ? sur ?

On se restreint d'abord au cas des fonctions positives.

On note avec éventuellement égal à
Soit f continue par morceaux sur I

On dit que f est intégrable sur I si la quantité suivante est finie :
et dans ce cas, on définit par :



Cas des fonctions à valeurs réelles.

On peut écrire
où
et
On peut alors montrer que et sont continues par morceaux et positives.

Si et sont intégrables, alors f est intégrable et dans ce cas :


Dire que f est intégrable, c'est dire aussi que est intégrable.

Romain

[invite787dfb08]

Plop

Pour ceux qui sont toujours à calculer des intégrales de niveau TS (pas trop plus, comme moi ), voici un exo simple...

EXERCICE

Soit une suite Vn pour tout entier naturel n :



Montrer que la suite des croissante
Montrer qu'elle est convergente

+++

[Seirios]

EXERCICE

Soit une suite Vn pour tout entier naturel n :



Montrer que la suite des croissante
Montrer qu'elle est convergente

 Cliquez pour afficher

Pour la première question, je dirais qu'il y a deux manière de procéder ; la première serait de calculer l'intégrale, de dériver le résultat, étude de signe, etc., ou alors comme suit :

.

Or , donc , ce qui permet de conclure que est effectivement croissante.

Pour la deuxième question, je calcule l'intégrale en faisant deux intégrations par parties :



Donc , puisque

Voilà, j'espère ne pas avoir fait d'erreurs.

[Seirios]

On peut écrire
où
et
On peut alors montrer que et sont continues par morceaux et positives.

Que représente ?

[invitebfd92313]

le maximum de l'ensemble composé des éléments f(x) et 0, c'est à dre f(x) si f(x) >= 0 et 0 sinon

[Seirios]

D'accord, merci Hamb