[TS+] Intégrales sympas

[invitecb6f7658]

Sinon, je sais pas si ca a un rapport mais integrator dit qu'il n'existe pas de formule pour cette intégrale... J'arrête de chercher
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[invitec317278e]

Oui, mais le problème est qu'ici f(a)=f(b)...

Pour moi, le problème est que lorsque l'on fait un changement de variable dans ce sens, il faut pas qu'il soit trop surjectif.
Autant, ça ne pose pas de problème dans l'autre, mais là, si.


Ce qui me gênait, c'est que si on disait que ce qu'a dit Apprenti-lycéen est juste, alors, finalement, on pourrait dire que toutes les intégrales entre 0 et pi sont nulles, puisqu'ils suffirait de faire ce "changement de variable"...

[invitecb6f7658]

Ok merci, c'est donc un des pièges du changement de variable auquel il faut faire attention...

En gros j'ai bousillé l'intégrale quoi

[invitec317278e]

De toute façon, avec ton changement de variable...essaie de remplacer tous les x, et d'avoir que des X...je suis pas sûr que t'y arrives ^^

[invitecb6f7658]

Oui c'est vrai c'était un peu bidon mais j'ai voulu me lancer la-dedans...

Si tu mettais la solution...

[invitec317278e]

Je laisse chercher, pour le moment.
Si des gens comme phys2 cherchent encore, il serait cruel de donner la solution trop tôt.

Mais cette intégrale n'a rien de compliqué

[Seirios]

Personnellement, je n'ai pas vraiment compris pourquoi ce changement de variable est incorrect...

Si des gens comme phys2 cherchent encore, il serait cruel de donner la solution trop tôt.

Oui je suis encore dessus

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir à tous,

le théorème du changement de variable dans le cas général (en toute dimension, avec l'intégrale de Lebesgue) s'applique dans le cas où le changement de variable est bijectif.
Plus précisément, la fonction changement de variable doit être un difféomorphisme, c'est à dire une bijection bi-

Faîtes-y attention. On peut vite faire n'importe quoi

Romain

[invitec317278e]

Mais dans le cas d'une simple intégrale, si on le fait dans le "bon sens", il n'y a pas forcément besoin de la bijectivité...l'important étant que les bornes de l'intégrale "de base" appartiennent à l'ensemble image de la fonction changeuse de variable...

[inviteaeeb6d8b]

Mais dans le cas d'une simple intégrale, si on le fait dans le "bon sens", il n'y a pas forcément besoin de la bijectivité...l'important étant que les bornes de l'intégrale "de base" appartiennent à l'ensemble image de la fonction changeuse de variable...

...
Dans le cas à une variable, il n'est pas nécessaire d'avoir une bijection.

[invitec317278e]

Edit : Je laisse la formule de changement de variable pour fixer les idées d'Apprenti-lycéen

[invitebfd92313]

Non pas besoin il suffit de refaire la démonstration pour le voir

[inviteaeeb6d8b]

J'ai trouvé ceci (à quelques choses près) dans plusieurs cours sur le net (de niveau lycée) :

je cite :

soit

Je veux faire un changement de variable :

Il faut que : g soit sur [a,b]
on note
Si f est continue sur I
alors

Bizarre non ?
Qu'est-ce qui m'empêche de poser ?
, g est bien
alors si f est continue en 0
on a C'est pratique !

Romain

[invitec317278e]

Mais cette formule est fausse. Dans la bonne formule, il faut échanger les bornes de tes 2 intégrales (comme dans la mienne).

[invitebfd92313]

oui mais tu t'es trompé dans les bornes de tes intégrales ^^ la formule marche aussi pour la fonction nulle (membre de gauche bornes nulles toutes deux et membre de droite intégrande nul)

edit : cramed

[invitec317278e]

Démo au passage :

soit F une primitive de f.

[inviteaeeb6d8b]

Vous m'avez devancé ! Je viens aussi de le voir ! J'ai inversé les bornes. J'suis un peu fatigué... hé hé

Ce que je me demande maintenant, c'est pourquoi il faut avoir une bijection dans le cas multidimensionnel...

Remarquez, non. On montre classiquement que si on a une bijection, ça marche, mais rien nous dit que la réciproque est vraie.

[invitec317278e]

Moi, déjà, j'aimerais bien voir comment on démontre la formule de changement de variable dans le cas multidimensionnel On démontre la formule avec le jacobien, en spé ?

[inviteaeeb6d8b]

Oui en spé, on démontre la formule du changement de variable dans le cas multidimensionnel. Mais en fait...

En spé, on fait tout avec l'intégrale de Riemann, et on démontre des théorèmes sur les intégrales (CV dominée par exemple).

En L3, on définit l'intégrale de Lebesgue, et là, tous les gros théorèmes de spé, pénibles à démontrer, ils se démontrent en deux minutes, et avec des hypothèses moins strictes !

Vive l'intégrale de Lebesgue !
(d'ailleurs, même démontrer que l'intégrale de Lebesgue coïncide avec l'intégrale de Riemann sur son domaine de définition, c'est pas dur...)

Romain (encore désolé pour l'erreur sur la formule du chgt de variable ; ça me semblait bizarre qu'il ne soit pas nécessaire d'avoir une bijection, mais comme la démonstration marche... )

[inviteaeeb6d8b]

Je me dois quand même de préciser que l'intégrale de Lebesgue recquiert quand même des passages pénibles.
Il faut notamment définir et étudier un minimum les espaces mesurables et mesurés.
Il y a un théorème important (caractérisation sur un Pi-système) qui est difficile à prouver.
L'existence de la mesure de Lebesgue est (très) difficile à prouver (l'unicité ne l'est pas si on dispose du théorème précédent).

Par contre, avec ça, la théorie de l'intégration se fait presque toute seule !


Romain

[invitec317278e]

Cool, j'ai hâte de voir d'où vient cette fichue jacobienne

quant à Lebesgue...faudra déjà que j'aille un jour en L3

[Seirios]

Donc finalement, la condition donnée par Romain-des-Bois au message #823 est correcte ? (suffisante et nécessaire ?)

[Seirios]

Parce qu'il me semble que le changement de variable proposé par Apprenti-lycéen rempli ces conditions ; la fonction est bien de classe , puisqu'elle est dérivable et que cette dérivée est continue sur , puis est également continue sur , et notamment sur .

[invitec317278e]

Voilà ce que je pense :
Ce changement de variable là est illégal tant que tu ne réussis pas à faire disparaitre tous les petits x, et à les remplacer par des grands X.
Or, pour faire ceci, on a habituellement 2 solutions : soit on tripote l'intégrale pour faire apparaitre l'expression de grand X en fonction de x, soit, si le changement est bijectif, on exprime petit x en fonction de grand X, et là, on est sûr que l'on pourra remplacer tous les petits x par des grands X.
Seulement ici, le changement de variable n'est pas bijectif, donc la seconde solution ne marche pas.

Et de plus, on n'arrive pas à faire apparaitre dans l'intégrale la bonne expression en fonction de petit x pour la remplacer par du grand X.

En somme, il faudrait réussir à exprimer la fonction de départ comme dépendant uniquement de grand X, ce qui n'a pas été fait.
C'est ce que l'on appelle préparer un changement de variable, et ceci est nécessaire pour pouvoir appliquer la formule, car dans la formule, l'intégrale est sous la bonne forme avant d'être changée de variable.

[inviteaeeb6d8b]

Cool, j'ai hâte de voir d'où vient cette fichue jacobienne

quant à Lebesgue...faudra déjà que j'aille un jour en L3

Le jabobien (en fait la valeur absolue du jacobien) (et non la jacobienne) joue exactement le même rôle que le dans la formule :


Note :
la jacobienne est la matrice des dérivées partielles de
le jacobien est le déterminant de la jacobienne.

Parce qu'il me semble que le changement de variable proposé par Apprenti-lycéen rempli ces conditions ; la fonction est bien de classe , puisqu'elle est dérivable et que cette dérivée est continue sur , puis est également continue sur , et notamment sur .

Il y a la formule théorique, et le passage à la pratique.
Si tu remplaces les x par les X, il faut que tu obtiennes une intégrale ne contenant plus que des X.
En effet, si ce n'est pas le cas, tu ne peux pas faire comme si tes x étaient des constantes : un x correspond à une fonction de X.

Effectivement, la formule théorique ne recquiert pas que le changement soit bijectif. Mais le fait qu'il le soit [bijectif] aide beaucoup en général : tu peux exprimer x en fonction de X et inversément.


Romain

[invitec317278e]

Un petit indice :

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Notez, dans l'expression de cette intégrale, la quasi-symétrie entre les sinus et les cosinus.

[inviteaeeb6d8b]

Il suffisait d'y penser

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Si on pose la fonction à intégrer, on remarque que

d'où l'intégrale barbare vaut .

[invitec317278e]

Il suffisait d'y penser

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Le mieux dans ces cas là, c'est de jeter un oeil à la courbe représentative, ça saute aux yeux

[Seirios]

Finalement j'ai trouvé :

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On effectue le changement de variable , en remarquant que :



La fonction dans l'intégrale est impaire, donc I=0.

[Seirios]

Il suffisait d'y penser

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Si on pose la fonction à intégrer, on remarque que

d'où l'intégrale barbare vaut .

Je ne vois pas en quoi cette égalité implique que l'intégrale soit nulle