Suite d'Integrale

[invite836bda58]

Bonjour, je n'arrive pas à m'en sortir avec une suite contenant un intégrale :

Le suite (U_n) est définie sur N par u_n= Intégrale de 0 à 1 de : xⁿln(x+1) dx

Je suis censé étudier la monotonie de la suite mais je ne sais pas comment m'y prendre. J'ai essayé de faire une intégration par partie qui me redonne le même intégrale, si quelqu'un pouvait m'éclairer sur la méthode à employer, ce serait gentil

Merci.
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[inviteec581d0f]

Salut,

calcule U(n+1) - U(n) pour commencer =)

[invitec053041c]

Ou bien, tu sais que ln(1+x)>=0 pour tout x de [0;1].

Aussi, quel est le "plus grand" entre x^n et x^(n+1) si x appartient à [0,1] ?

Ces 2 éléments devront te permettre d'établir une comparaison entre x^n.ln(x+1) et x^(n+1).ln(x+1) pur tout x de [0,1].

Tu utilises ensuite la propriété de l'inégalité des intégrales qui est dans ton cours.

[invite836bda58]

Donc,

xⁿ⁺¹ >= xⁿ pour x dans [0;1] et n dans N.
et ln(x+1) >=0 pour x dans [0;1] permettent de dire que xⁿ⁺¹ln(x+1) >= xⁿln(x+1) et que d'apres la propriété de la monotonie des intégrales : U_n+1 - U_n >= 0 donc (U_n) monotone croissante.

Merci beaucoup.

Je n'ai pas de propriété de l'inégalité des intégrales dans mon cours, elle sert à quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut

Donc,

xⁿ⁺¹ >= xⁿ pour x dans [0;1] et n dans N.

Ah ? ?

Je n'ai pas de propriété de l'inégalité des intégrales dans mon cours, elle sert à quoi ?

C'est quelque chose comme ça : si pour tout dans , alors ... mais c'est exactement ce que tu as utilisé.

[invite836bda58]

jviens juste de me rendre compte cette grossiere erreur... je corrige.
Oui c'est la même propriété en fait, merci.
Jme disais aussi, la limite en + infini est 0, je comprenais plus