Problème de géométrie
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

Problème de géométrie



  1. #1
    invite1237a629

    Problème de géométrie


    ------

    Plop !

    J'ai lu ce problème quelque part, j'ai cherché la solution, encore cherché.... et pas trouvé


    On a un triangle ABC.
    On connaît AB qui fait, disons 30 cm. On connaît BC qui fait, disons 64 cm.

    La bissectrice AD, la médiane BE et la hauteur CF du triangle sont concourantes en un point que l'on appellera P.

    Quelle est la longueur BC ?


    Bonne chance !


    (j'ai une idée sur ce qu'il faut démontrer, mais je n'ai pas envie d'influencer quiconque, vu que je n'arrive pas à me séparer de cette idée )

    -----

  2. #2
    invite652ff6ae

    Re : Problème de géométrie

    Facile, BC = 64 cm

  3. #3
    invite1237a629

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par SoaD25 Voir le message
    Facile, BC = 64 cm
    Ah, et pourquoi ?
    Et pourquoi ne serait-ce pas 30 ?

    Note que je n'ai pas dit que toutes les hauteurs, médianes et bissectrices étaient concourantes ^^

  4. #4
    invite652ff6ae

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Ah, et pourquoi ?
    Et pourquoi ne serait-ce pas 30 ?
    Parce que :

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    On connaît BC qui fait, disons 64 cm.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite1a299084

    Re : Problème de géométrie

    Bah dans l'énoncé tu as dis que BC fait 64 cm

  7. #6
    invite1237a629

    Re : Problème de géométrie

    Snif


    Il fallait lire "AC=64 cm"


    Merci

  8. #7
    invite652ff6ae

    Re : Problème de géométrie

    Désolé de ne pas l'avoir dit tout de suite, c'était trop tentant

  9. #8
    invite1237a629

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par SoaD25 Voir le message
    Désolé de ne pas l'avoir dit tout de suite, c'était trop tentant
    J'aurais fait pareil

    Votre mission sera maintenant, si vous l'acceptez, de vous casser la tête sur ce problème

  10. #9
    invite57a1e779

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Votre mission sera maintenant, si vous l'acceptez, de vous casser la tête sur ce problème
    Sauf erreur de calcul dont je suis friand :

    et l'application numérique : au millimètre près...

  11. #10
    invite1237a629

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Sauf erreur de calcul dont je suis friand :

    et l'application numérique : au millimètre près...
    Je veux bien l'explication qui sustend cette formule


    Merci !

  12. #11
    invite57a1e779

    Re : Problème de géométrie

    Bonjour MiMoiMolette,

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Je veux bien l'explication qui sustend cette formule
    Dans le triangle , la droite est la bissectrice de l'angle en , donc , ou encore .
    Compte-tenu de ce que le pied de la bissectrice est entre et , on a l'égalité vectorielle :
    (1)

    Utilisons maintenant que est le milieu de .
    Avec les notations usuelles , et pour les côtés du triangle, on .
    On a aussi la propriété bien connue du milieu .

    L'égalité (1), multipliée par 2, et en passant tout au premier membre, devient :
    (2)

    Pour utiliser le fait que est la hauteur issue de , on écrit, par la relation de Chasles, l'égalité (2) en ne faisant intervenir que , et les vecteurs portés par les côtés connus du triangle, et , d'où :
    (3)

    Comme le produit scalaire est nul, l'égalité (3) fournit , soit
    (4)

    La formule d'al-Kashi nous donne

    Et voilà...

  13. #12
    invite1237a629

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour MiMoiMolette,



    Dans le triangle , la droite est la bissectrice de l'angle en , donc , ou encore .
    Salut !

    Comme d'habitude, ça impose le respect

    J'aimerais juste savoir quelle est cette propriété des rapports (dans la citation) ?


    Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?


    Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)

  14. #13
    invite57a1e779

    Re : Problème de géométrie

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    J'aimerais juste savoir quelle est cette propriété des rapports (dans la citation) ?
    Démonstration classique, voir la figure.
    Les droites et sont parallèles, d'où les égalités d'angles (marqués sur la figure)
    et

    D'autre part le théorème de Thalès fournit

    Si, de plus, la droite est la bissectrice de l'angle , les quatre angles marqués sont tous égaux, le triangle est isocèle, et .
    La relation fournie par le théorème de Thalès devient
    qui est le résultat voulu.

    On peut aussi utiliser la relation aux sinus dans les triangles et :

    et

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)

  15. #14
    invite57a1e779

    Re : Problème de géométrie

    Je pensais avoir demandé une prévisualisation du début de ma réponse avant d'aller manger, et je viens de m'apercevoir que j'ai en fait envoyé le début de mon message, de qui laisse le lecteur sur sa faim, d'autant que la figure est absente.

    Je reprend la deuxième méthode avec la relation aux sinus dans les triangles et :

    et
    [/QUOTE]

    On a de plus :
    car les angles sont supplémentaires ;
    dès que est la bissectrice.

    De là : , et

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?
    Si l'on reprend mon raisonnement, j'utilise tout d'abord le fai que le point est intersection de la bissectrice et de la médiane , pour montrer barycentriquement par la relation
    La fin du raisonnement peut alors être rédigée sous la forme suivante : appartient à la hauteur (autrement dit les droites , et sont concourrantes) si, et seulement si , ou encore
    et il me semble que les triangles qui satisfont une telle relation n'ont rien de particulier, ils ne sont par exemple ni rectangles, ni isocèles, sauf à être équilatéraux.

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)
    Effectivement, il n'y a aucun argument vraiment difficile, mais c'est l'enchaînement d'idées de ce type qui n'est plus de mise aujourd'hui.
    Images attachées Images attachées  

Discussions similaires

  1. Un problème de géométrie
    Par invite8d271a9f dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 17/01/2008, 13h25
  2. Problème de géométrie...
    Par inviteae9ea1cc dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 14
    Dernier message: 04/12/2007, 22h35
  3. Problème de Géométrie
    Par invite2b0c83e9 dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 0
    Dernier message: 06/02/2007, 19h30
  4. Problème de géométrie
    Par inviteb1c22d17 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 10/10/2005, 00h50
  5. problème de géométrie
    Par invitec203e4a1 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 31/01/2004, 19h53