Problème de géométrie

[invite1237a629]

Plop !

J'ai lu ce problème quelque part, j'ai cherché la solution, encore cherché.... et pas trouvé


On a un triangle ABC.
On connaît AB qui fait, disons 30 cm. On connaît BC qui fait, disons 64 cm.

La bissectrice AD, la médiane BE et la hauteur CF du triangle sont concourantes en un point que l'on appellera P.

Quelle est la longueur BC ?


Bonne chance !


(j'ai une idée sur ce qu'il faut démontrer, mais je n'ai pas envie d'influencer quiconque, vu que je n'arrive pas à me séparer de cette idée )
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[invite652ff6ae]

Facile, BC = 64 cm

[invite1237a629]

Facile, BC = 64 cm

Ah, et pourquoi ?
Et pourquoi ne serait-ce pas 30 ?

Note que je n'ai pas dit que toutes les hauteurs, médianes et bissectrices étaient concourantes ^^

[invite652ff6ae]

Ah, et pourquoi ?
Et pourquoi ne serait-ce pas 30 ?

Parce que :

On connaît BC qui fait, disons 64 cm.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Micki2a]

Bah dans l'énoncé tu as dis que BC fait 64 cm

[invite1237a629]

Snif


Il fallait lire "AC=64 cm"


Merci

[invite652ff6ae]

Désolé de ne pas l'avoir dit tout de suite, c'était trop tentant

[invite1237a629]

Désolé de ne pas l'avoir dit tout de suite, c'était trop tentant

J'aurais fait pareil

Votre mission sera maintenant, si vous l'acceptez, de vous casser la tête sur ce problème

[God's Breath]

Votre mission sera maintenant, si vous l'acceptez, de vous casser la tête sur ce problème

Sauf erreur de calcul dont je suis friand :

et l'application numérique : au millimètre près...

[invite1237a629]

Sauf erreur de calcul dont je suis friand :

et l'application numérique : au millimètre près...

Je veux bien l'explication qui sustend cette formule


Merci !

[God's Breath]

Bonjour MiMoiMolette,

Je veux bien l'explication qui sustend cette formule

Dans le triangle , la droite est la bissectrice de l'angle en , donc , ou encore .
Compte-tenu de ce que le pied de la bissectrice est entre et , on a l'égalité vectorielle :

(1)

Utilisons maintenant que est le milieu de .
Avec les notations usuelles , et pour les côtés du triangle, on .
On a aussi la propriété bien connue du milieu .

L'égalité (1), multipliée par 2, et en passant tout au premier membre, devient :

(2)

Pour utiliser le fait que est la hauteur issue de , on écrit, par la relation de Chasles, l'égalité (2) en ne faisant intervenir que , et les vecteurs portés par les côtés connus du triangle, et , d'où :

(3)

Comme le produit scalaire est nul, l'égalité (3) fournit , soit

(4)

La formule d'al-Kashi nous donne

Et voilà...

[invite1237a629]

Bonjour MiMoiMolette,



Dans le triangle , la droite est la bissectrice de l'angle en , donc , ou encore .

Salut !

Comme d'habitude, ça impose le respect

J'aimerais juste savoir quelle est cette propriété des rapports (dans la citation) ?


Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?


Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)

[God's Breath]

J'aimerais juste savoir quelle est cette propriété des rapports (dans la citation) ?

Démonstration classique, voir la figure.
Les droites et sont parallèles, d'où les égalités d'angles (marqués sur la figure)

et

D'autre part le théorème de Thalès fournit

Si, de plus, la droite est la bissectrice de l'angle , les quatre angles marqués sont tous égaux, le triangle est isocèle, et .
La relation fournie par le théorème de Thalès devient

qui est le résultat voulu.

On peut aussi utiliser la relation aux sinus dans les triangles et :

et

Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?

Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)

[God's Breath]

Je pensais avoir demandé une prévisualisation du début de ma réponse avant d'aller manger, et je viens de m'apercevoir que j'ai en fait envoyé le début de mon message, de qui laisse le lecteur sur sa faim, d'autant que la figure est absente.

Je reprend la deuxième méthode avec la relation aux sinus dans les triangles et :

et

[/QUOTE]

On a de plus :
– car les angles sont supplémentaires ;
– dès que est la bissectrice.

De là : , et

Et aussi, quelle est la particularité du triangle, si tant est qu'il y en a une ? Puisque ce ne sont pas tous les triangles qui sont tels que ces droites sont concourantes... ?

Si l'on reprend mon raisonnement, j'utilise tout d'abord le fai que le point est intersection de la bissectrice et de la médiane , pour montrer barycentriquement par la relation

La fin du raisonnement peut alors être rédigée sous la forme suivante : appartient à la hauteur (autrement dit les droites , et sont concourrantes) si, et seulement si , ou encore

et il me semble que les triangles qui satisfont une telle relation n'ont rien de particulier, ils ne sont par exemple ni rectangles, ni isocèles, sauf à être équilatéraux.

Merci beaucoup ! Grâce à toi, j'aurai l'esprit moins torturé (par contre, ça me semble assez ardu à trouver pour un lycéen, non ?)

Effectivement, il n'y a aucun argument vraiment difficile, mais c'est l'enchaînement d'idées de ce type qui n'est plus de mise aujourd'hui.