Problème de géométrie...

[inviteae9ea1cc]

Bonsoir à tous,

Je suis en train de me casser la tête sur un problème...

De tous les triangles qui ont la même aire, trouver celui qui a le plus petit périmètre.

Si vous avez des pistes pour l'aborder je suis preneur


Merci d'avance


Bobby
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[invite31253240]

Il faut que tu trouves une fonction et que tu trouves le minimum de cette fonction.

[invite03f2c9c5]

Pas si facile ! Il y a peut-être une méthode élémentaire qui m'échappe, mais l'idée qui me vient n'est pas tout à fait du niveau lycée…

Si on note le demi-périmètre d'un triangle dont les côtés ont pour longueurs , et , on dispose de la (jolie) formule de Héron qui donne l'aire de ce triangle ; celle-ci est

.

Cette formule peut se montrer à partir du théorème d'Al Kashi.

On dispose par ailleurs de l'inégalité arithmético-géométrique, selon laquelle, pour tout entier naturel non nul , et tout -uplet de nombres réels positifs , on a

,

avec égalité si et seulement si les sont tous égaux pour variant de à . Cela se montre en utilisant la stricte concavité de la fonction logarithme.

Bon, en admettant ces deux résultats, la solution de ton problème n'est pas trop difficile à obtenir…

[inviteae9ea1cc]

Bonsoir DSCH,

Merci pour ta réponse. En effet avec cette inégalité je peux montrer que la solution du problème est un triangle équilatéral.

Disposerait-tu de la démonstration de cette inégalité?

Merci d'avance

Bobby

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Bonsoir DSCH,

Merci pour ta réponse. En effet avec cette inégalité je peux montrer que la solution du problème est un triangle équilatéral.

Disposerait-tu de la démonstration de cette inégalité?

Merci d'avance

Bobby

Bon, faute de temps, je vais me la jouer flemmard en joignant un vieux devoir que j'ai donné sur le sujet. Je ne suis pas fier de la typographie (les points se placent après les parenthèses fermantes, bon sang !), mise en page, et autres défauts (aujourd'hui j'écrirais « ensemble de définition » et non « domaine de définition » par exemple), mais j'ai une excuse, c'était ma première année de professeur en lycée . Si tu es indulgent, tu peux regarder les parties A et C (la B est hors-sujet pour ce qui nous préoccupe).

Bien sûr, on trouve des tas d'autres preuves moins élémentaires un peu partout (j'imagine qu'essayer « inégalités de convexité » sur Google devrait suffire).

Enfin, pour ton problème, je suggère de faire , , et , mais ça, tu l'as déjà trouvé dirait-on.

[inviteae9ea1cc]

Merci pour ta réponse. J'ai pu démontrer cela de manière propre.

Je voulais savoir cette méthode était valable pour le problème inverse c'est à dire :

Pour les triangles qui ont le même périmètre trouver celui qui a la plus grande aire.

Merci d'avance

Bobby

[invite03f2c9c5]

Merci pour ta réponse. J'ai pu démontrer cela de manière propre.

Je voulais savoir cette méthode était valable pour le problème inverse c'est à dire :

Pour les triangles qui ont le même périmètre trouver celui qui a la plus grande aire.

Merci d'avance

Bobby

Dans la mesure où tu as prouvé l'inégalité avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral, cela résout également le problème inverse (en vérité, c'est plutôt le même problème formulé de deux façons différentes).

[inviteae9ea1cc]

Je te remercie beaucoup pour tes informations qui m'ont été
très précieuses!!!


A bientôt

Bobby

[invite31253240]

Je me posais une question pour résoudre le même problème, mais avec des rectangles, il n'y a pas une solution plus simple que de remprendre ce résonnement ?

[invite03f2c9c5]

Je me posais une question pour résoudre le même problème, mais avec des rectangles, il n'y a pas une solution plus simple que de remprendre ce résonnement ?

Avec des rectangles, c'est facile de paramétrer le problème pour se ramener à une étude de fonction dont on cherche le minimum (ou le maximum, selon comment on pose le problème).

En revanche, pour un quadrilatère quelconque, c'est plus compliqué. La formule de Héron se généralise bien et s'appelle pour les quadrilatères formule de Brahmagupta (voir ici). À essayer…

[invitea3eb043e]

On peut résoudre ce problème sans écrire la moindre équation.
Appelons le triangle ABC et imaginons qu'on a fixé le côté BC. Quelle est la position optimale du sommet A ?
Déjà on peut s'intéresser à la hauteur AH issue de A abaissée sur BC. Sa longueur est imposée (because l'aire l'est), donc le point A va se promener sur une droite parallèle à BC. Où doit-il être pour minimiser le périmètre, c'est à dire la somme CA + CB puisque BC est imposé ? On pourrait écrire l'équation donnant cette somme en fonction de x, la position de H sur BC, par exemple à partir du milieu de BC.
Cette somme est, par symétrie une fonction paire donc son minimum est en x=0.
Le triangle ABC est donc isocèle et CA = CB.
On peut faire le même raisonnement sur les autres côtés : le triangle est isocèle de partout, donc équilatéral.

[invite03f2c9c5]

On peut résoudre ce problème sans écrire la moindre équation.
[snip solution simple et élégante]

Ah, je me disais bien aussi qu'il y avait un simple argument de symétrie ! Je ne le trouvais pas car je cherchais à montrer directement que le triangle devait être équilatéral et n'avais pas pensé à le prouver seulement isocèle pour commencer. Ma fascination pour la formule de Héron a fait le reste, j'étais persuadé que le salut ne pouvait venir que d'elle !

Bon, puisque la discussion est intéressante, on peut essayer de la prolonger. Y a-t-il un moyen (si possible aussi élémentaire et élégant) de généraliser le résultat pour un polygône à n côtés ? Y a-t-il un moyen raisonnable de faire tendre ensuite n vers l'infini et d'en déduire la classique inégalité isopérimétrique selon laquelle le cercle serait la courbe qui, à périmètre fixé, enserre la surface d'aire maximale ?

J'avoue poser ces questions sans y avoir encore réfléchi… Ne m'en voulez pas si la réponse est triviale, ce ne sera que la deuxième fois que je me vautre sur le même fil.

[invitea3eb043e]

Je sais qu'on peut démontrer que le cercle est la ligne fermée de longueur donnée qui enserre l'aire maximale. La démonstration fait appel au calcul variationnel et n'est pas triviale. Pour un polygone régulier, je ne sais pas.

[invite31253240]

Cette somme est, par symétrie une fonction paire donc son minimum est en x=0.

Ça pourraittrès bien être son maximum non ? (f(x)=-x² est paire et pourtant 0 est son minimum).
Par contre il devient effectivement facile de mettre P en fonction de x et de trouver le même résultat.

[invite03f2c9c5]

Je viens de trouver mon bonheur avec ce document ! Le cas des polygônes à n côtés est connu depuis Zénodore, il y a 2200 ans !