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Intégrale de Wallis



  1. #1
    Universmaster

    Intégrale de Wallis


    ------

    Salut à tous,

    J'ai regardé l'exo posté dans un autre fil de Ledescat sur les intégrales de Wallis, on posait:

    et


    Il faut montrer que pour tout n, Wn=Vn.

    Je propose une réponse:

    on sait que
    On procède au changement de variable:
    On a donc
    et

    On remplace dans Wn:


    On inverse les bornes pour enlever le signe -, et avec la remarque du début sur la relation du cos et sin, on a :

    Donc

    Correct?

    Cordialement, Universmaster.

    -----
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  2. Publicité
  3. #2
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    Je me permet de mettre la suite, car je suis toujours un peu dans la doute, je ne sais pas si c'est rigoureux... si c'est possible de vérifier?

    Montrer que les termes de la suite Wn sont positifs:

    Et donc:

    Donc tout les termes de la suite sont positifs.

    Montrer que la suite est décroissante:




    Etudions l'intérieur de l'intégrale:
    on a vu dans la question précédente que , l'intérieur est donc du signe de
    Sur
    Donc
    Ainsi, la multiplication des deux est négatifs:



    Donc Wn est décroissante.

    Wn est minorée (supérieure à 0 car tout les termes sont positifs) et décroissante, elle est donc convergente. On peut conjecturer que sa limite est 0.
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  4. #3
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    Montrer que

    On a

    Avec une IPP, on pose:


    en remplaçant:




    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Intégrale de Wallis

    Plop !

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Salut à tous,

    J'ai regardé l'exo posté dans un autre fil de Ledescat sur les intégrales de Wallis, on posait:

    et


    Il faut montrer que pour tout n, Wn=Vn.

    Je propose une réponse:

    on sait que
    On procède au changement de variable:
    On a donc
    et

    On remplace dans Wn:


    On inverse les bornes pour enlever le signe -, et avec la remarque du début sur la relation du cos et sin, on a :
    Si tu es sur une copie il est plus classe de dire que

    Donc

    Correct?
    Vi

    Cordialement, Universmaster.
    Cordialement itou, Molette.

    Petite astuce, toi qui demandes un visualiseur de latex ^^

    Quand tu n'as qu'un seul terme, pas besoin de mettre des {}.
    Par exemple, tu aurais pu écrire \sin^n au lieu de \sin^{n}
    Pareil quand tu as une fraction, tu peux écrire : \frac 12 pour 1/2 et \frac{\pi}2 pour pi/2.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : Intégrale de Wallis

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Je me permet de mettre la suite, car je suis toujours un peu dans la doute, je ne sais pas si c'est rigoureux... si c'est possible de vérifier?

    Montrer que les termes de la suite Wn sont positifs:

    Et donc:
    "Comme intégrale d'une fonction positive", voui

    Donc tout les termes de la suite sont positifs.
    Voui
    Tu peux montrer par récurrence aussi si ça te chante ^^

    Montrer que la suite est décroissante:




    Etudions l'intérieur de l'intégrale:
    on a vu dans la question précédente que , l'intérieur est donc du signe de
    Sur
    Donc
    Ainsi, la multiplication des deux est négatifs:



    Donc Wn est décroissante.
    "comme intégrale d'une fonction négative"

    Wn est minorée (supérieure à 0 car tout les termes sont positifs) et décroissante, elle est donc convergente. On peut conjecturer que sa limite est 0.
    On te demande de montrer qu'elle converge ?

    Ce genre de phrases, ce n'est pas ma spécialité, mais ça me paraît bon ^^
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  8. #6
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    OK merci beaucoup pour la correction

    Sinon merci pour le conseil mais comment tu sais que j'ai mis des {}?

    [[ tu as sûrement dû voir en faisant le "cité" en fait nan? ]]

    Sinon, toi tu as un visualisateur latex? je suis pas encore aller voir j'viens de rentrer du travail^^ j'y vais sur l'autre fil
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  9. Publicité
  10. #7
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    Euh sinon pour montrer que les termes de la suite sont positifs par récurrence j'ai essayé mais je n'ai pas réussi... comment je défini W(n+1)...?
    Enfin on met le n+1 au lieu de n dans l'intégrale mais ça nous avance pas vraiment...
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  11. #8
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    On pose (le produit des nombres impairs de 1 à 2n-1).

    Vérifier que


    Par récurrence je n'y arrive pas, en suivant le conseil de Ledescat c'est très simple:

    On multiplie le haut et le bas par le produit des nombres pairs jusqu'à 2n:






    Donc c'est ok, par contre en essayant par récurrence:
    Bon pour n=1 ça marche... on suppose que ça marche pour un rang n,

    soit en remplaçant:


    Alors que l'on devrait trouver

    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Intégrale de Wallis

    Salut
    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    [...]

    Alors que l'on devrait trouver
    C'est sûrement une coquille mais le résultat voulu est plutôt . (le dernier terme est et pas )

    Pour y arriver, on peut utiliser une astuce similaire à celle de Ledescat :

    Comme quoi, les deux méthodes ne sont pas si différentes que cela.

  13. #10
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    Bon je marque pas la suite de l'exo il est assez simple, enfin bien guidé en tout cas^^

    Merci Ledescat pour cet exo, il était cool... et finalement pas super dur car très très guidé... je vais aller voir les cours dont parlait GalaxieA440, les résutats à savoir ou les méthodes à connaître sur les intégrales de Wallis (et après Riemann), enfin je ferai ça après le bouloooot :s

    Good night all
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  14. #11
    Universmaster

    Re : Intégrale de Wallis

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    On pose (le produit des nombres impairs de 1 à 2n-1).


    Alors que l'on devrait trouver
    Pardon on devrait trouver ...

    Je verrais ça demain, si vous trouvez une erreur signalez toujours
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  15. #12
    MiMoiMolette

    Re : Intégrale de Wallis

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    OK merci beaucoup pour la correction

    Sinon merci pour le conseil mais comment tu sais que j'ai mis des {}?

    [[ tu as sûrement dû voir en faisant le "cité" en fait nan? ]]

    Sinon, toi tu as un visualisateur latex? je suis pas encore aller voir j'viens de rentrer du travail^^ j'y vais sur l'autre fil
    Voui, j'ai cité ^^

    Pour un visualisateur latex (qui ne soit pas un software), je connais celui-là : http://www.gnux.be/pages/tex2im, mais leur serveur a l'air fragile.
    Mais c'est un peu comme si tu prévisualisais tes posts ^^
    Par contre, ça te donne des liens vers les images, c'est plutôt pas mal
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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