Problème maths, 1°ES

[invite75e2ad50]

Bonjour,
J'ai rencontré un petit problème lors de la résolution d'un système. Voici le problème:
L'hypoténuse du triangle rectangle ABC mesure 85m. La somme des mesures des côtés de l'angle droit est égale à 113m.
Déterminer les longueurs AB, AC et BC (avec AC plus petite que BC)
L'angle droit se trouve en C. Le côté BA mesure donc 85m.
D'après le théorème de pythagore AB^2=AC^2+CB^2.
Hors je n'ai la longeurs que d'un côté et la mesure que d'un angle, utiliser ce théorème ou le cosinus, sinus me parait donc impossible.
J'ai donc cherché à établir un système:
BC=X AC=Y

|X^2+Y^2=85^2 (1)
|X+Y=113 (2)

J'ai donc utilisé le (2) pour faire ressortir les X:
X=113-Y.
J'ai ensuite tenté de le remplacer dans la première équation:
85^2= X^2+y^2
113=X+Y
113-y=X
85^2=(113-Y)^2+y^2
85^2=113^2-226y+y^2+y^2
85^2=113^2-226y+2y^2
226y-2y^2=113^2-85^2

Et la je bloque, je me retrouve avec des Y et des Y^2.
J'ai refait le calcule une bonne dizaine de fois en trouvant quelques erreur ou en en rajoutant par mégarde. Je pense que ce que j'ai fait est bon, puisque je l'ai refait trois fois de suite en trouvant le même résultat.
J'ai donc ensuite essayé de résoudre ce problème en mettant Y en facteur ( Y(226-2Y)= 5544 ) mais cela ne m'as pas vraiment arrangé.
Je me suis alors dis qu'il fallait trouver une troisième équation à introduire dans le système. J'ai cherché dans ce qui réfère au triangle rectangle (aire, périmètre) mais impossible de trouver.
Pouvez-Vous m'aider??
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[Thorin]

Je pense qu'au niveau 1ES, on est censés savoir résodure ce type d'équations
cherche sur le net équation second degré discriminant.

[Thorin]

Je vais te démontrer la formule dans ce cas particulier :

2y²-226y+5544=0
on factorise par 2 :
2(y²-113y+2772)=0
on simplifie par 2 :
y²-113y+2772=0
on essaie de faire apparaitre une égalité remarquable du type (y-chose)² en se servant de y² et de 113y, et en ajoutant et soustrayant la bonne quantité pour finir :
(y-56.5)²-3192.25+2772=0 (on sait que dans la parenthèse, ce sera 56.5 car c'est la moitié de 113, et que les égalités remarquables sont du type (y-chose)²=y²-2*y*chose+chose²)

(y-56.5)²-420.25=0

racine de 420.25 = 20.5, on peut donc écrire :
(y-56.5)²-20.5²=0
on reconnait une égalité remarquable du type a²-b²=(a-b)(a+b), d'où :
(y-56.5-20.5)(y-56.5+20.5)=0

(y-36)(y-77)=0
d'où 36 et 77 sont les solutions possibles.

[invite75e2ad50]

Merci de ton aide.
J'avoue que je n'avais pas du tout pensé au discriminant. En fait je ne pensais pas que cela pouvais marcher dans un système. (et oui c'est pour sa que je m'entraine durant les vacances!!).
En tout cas merci beaucoup de ton aide, et la prochaine fois je penserai à utiliser delta!
Bonne soirée!

[A voir en vidéo sur Futura]