cos(pi/5)

[invite425270e0]

Re-plop,

Me voilà sur un exo de trigo:
calculer cos(5x) en fonction de cos(x)
je trouve (et ça marche): cos(5x)= 16cos⁵x - 20cos³x+5cos(x) (*)

On demande ensuite de trouver cos(pi/5)...
ça fait donc grâce à (*):
cos(pi)= 16cos⁵(pi*5) - 20cos³(pi*5)+5cos(pi*5)

Mais maintenant pour extraire un cos(pi*5)...
à l'aide?
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[Médiat]

cos(pi)= 16cos⁵(pi*5) - 20cos³(pi*5)+5cos(pi*5)

Tu voulais écrire : cos(pi)= 16cos⁵(pi/5) - 20cos³(pi/5)+5cos(pi/5).
Tu poses cos(pi/5) = X, et tu dois résoudre
-1 = 16X⁵ - 20X³ +5X ou encore
16X⁵ - 20X³ +5X + 1 = 0, équation qui a une racine évidente (pas acceptable d'ailleurs) X = -1, je te laisse la suite ...

[invite425270e0]

Ui ok, j'avais essayé mais je tombe sur une équa de degré 4, qui n'a pas de racines évidentes

[Thorin]

tu prends ton équation de degré 4, et tu poses u=X-0.25 (tu remplaces donc X par u+0.25, puis tu développes tout, puis tu remets sous forme de polynome...et tu verras ce qui se passera)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite425270e0]

Excellent ce petit changement ! !

Comment l'as-tu trouvé et pourquoi ça marche ici? ^^

Bon j'm'en vais; j'vais en boulot je re ce soir

[invite263d7f23]

Sinon, on peut aussi poser têta=pi/10 (soit 5têta=pi/2) pour avoir un truc qui ressemble à:
Acos(teta)^5 + Bcos(teta)^3 + Ccos(teta) = 0
Puis tu factorises par cos(teta), on a une équation bicarrée, donc on pose
X=cos²(pi/10)... on résout l'équation, et puis comme cos²(pi/10)=1/2(1+cos(pi/5), on trouve ce qu'on voulait.

[Thorin]

Comment l'as-tu trouvé et pourquoi ça marche ici? ^^

J'ai mis la fonction de degré 4 de base sur le graphe de ma TI-84.

j'ai vu que la courbe de cette fonction avait une droite de symétrie située en x=0.25
Donc en décalant tout de 0.25, on se retrouve avec une fonction dont la droite de symétrie est l'axe des ordonnées, c'est a dire un fonction paire.
Or si c'est une fonction paire, il ne peut pas y avoir de termes avec des puissances impaires de x.

donc, il reste au final une équation de degré 4 (décaler ne change pas le degré total), avec que des puissances paires de x...c'est à dire une équation bicarrée, facile à résoudre.

Voici le petit raisonnement auquel je me suis livré.

Le seul truc, c'est que j'étais pas sur que la fonction était décalée de pile 0.25 par rapport à l'axe des ordonnées, vu que ma calculette ne donne que des arrondis.


Avec dévotion et humanité,

Thorin.

[bubulle_01]

C'est toi qui t'es lancé ce défi de calculer ?
Car, concours de circonstances, je l'ai fait exactement hier.
Le mieux est de partir avec le sinus, qui à l'avantage de donner une équation sans constante. On peut alors simplifier par et retomber sur une équation bicarrée
Ensuite, connaisant le sinus, on peut directement déduire le cosinus.

[pat7111]

Il y a aussi un exo archi classique (je me souviens l'avoir vu dans les annales du bac) qui fait calculer en faisant remarquer que .

On tombe tout simplement sur un bete trinome. (Et l'exercice conclut sur la construction d'un pentagone regulier). Un fois qu'on a , trouver est facile

[invite425270e0]

Sinon, on peut aussi poser têta=pi/10 (soit 5têta=pi/2) pour avoir un truc qui ressemble à:
Acos(teta)^5 + Bcos(teta)^3 + Ccos(teta) = 0
Puis tu factorises par cos(teta), on a une équation bicarrée, donc on pose
X=cos²(pi/10)... on résout l'équation, et puis comme cos²(pi/10)=1/2(1+cos(pi/5), on trouve ce qu'on voulait.

Plop, j'veux bien mais il faut connaître cos pi/10 alors ^^

[invite425270e0]

Il y a aussi un exo archi classique (je me souviens l'avoir vu dans les annales du bac) qui fait calculer en faisant remarquer que .

On tombe tout simplement sur un bete trinome. (Et l'exercice conclut sur la construction d'un pentagone regulier). Un fois qu'on a , trouver est facile

Euh j'trouve du degré 4 moi

[invite263d7f23]

Plop, j'veux bien mais il faut connaître cos pi/10 alors ^^

Tu trouves cos²(pi/10) en résolvant l'équation, puis tu linéarises pour avoir cos(pi/5).

[invite425270e0]

Ok sorry j'avais mal compris ^^

[pat7111]

Euh j'trouve du degré 4 moi

(Serie geometrique)



(regroupement des termes conjugues)





On a bien un trinome en ... Non ?

[invite425270e0]

Ouais ok bien vu ^^
pas mal quand même pour un exo de bac ^^

[pat7111]

Ouais ok bien vu ^^
pas mal quand même pour un exo de bac ^^

Ouais bof...
Ce n'etait que le debut de l'exercice. Apres cela faisait retrouver le trace du pentagone en construisant la valeur .

A l'epoque (1992, c'est pas la prehistoire non plus...) personne n'imaginait encore porter plainte s'il trouvait le sujet trop dur...

Et puis, ce qui ne saute peut-etre pas aux yeux en terminale, c'est le debut (la somme nulle) apres si on te dit de simplifier pour n'avoir que du cos(2pi/5), le regroupement des termes conjugues, la petite transformation trigo pour se ramener de 4pi/5 a 2pi/5 et la resolution du trinome, ca parait assez naturel et pas sorcier...