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cos(pi/5)



  1. #1
    Universmaster

    cos(pi/5)

    Re-plop,

    Me voilà sur un exo de trigo:
    calculer cos(5x) en fonction de cos(x)
    je trouve (et ça marche): cos(5x)= 16cos5x - 20cos3x+5cos(x) (*)

    On demande ensuite de trouver cos(pi/5)...
    ça fait donc grâce à (*):
    cos(pi)= 16cos5(pi*5) - 20cos3(pi*5)+5cos(pi*5)

    Mais maintenant pour extraire un cos(pi*5)...
    à l'aide?

    -----

    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

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  3. #2
    Médiat

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    cos(pi)= 16cos5(pi*5) - 20cos3(pi*5)+5cos(pi*5)
    Tu voulais écrire : cos(pi)= 16cos5(pi/5) - 20cos3(pi/5)+5cos(pi/5).
    Tu poses cos(pi/5) = X, et tu dois résoudre
    -1 = 16X5 - 20X3 +5X ou encore
    16X5 - 20X3 +5X + 1 = 0, équation qui a une racine évidente (pas acceptable d'ailleurs) X = -1, je te laisse la suite ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Ui ok, j'avais essayé mais je tombe sur une équa de degré 4, qui n'a pas de racines évidentes
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  5. #4
    Thorin

    Re : cos(pi/5)

    tu prends ton équation de degré 4, et tu poses u=X-0.25 (tu remplaces donc X par u+0.25, puis tu développes tout, puis tu remets sous forme de polynome...et tu verras ce qui se passera)

  6. #5
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Excellent ce petit changement ! !

    Comment l'as-tu trouvé et pourquoi ça marche ici? ^^

    Bon j'm'en vais; j'vais en boulot je re ce soir
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    sohot

    Re : cos(pi/5)

    Sinon, on peut aussi poser têta=pi/10 (soit 5têta=pi/2) pour avoir un truc qui ressemble à:
    Acos(teta)^5 + Bcos(teta)^3 + Ccos(teta) = 0
    Puis tu factorises par cos(teta), on a une équation bicarrée, donc on pose
    X=cos²(pi/10)... on résout l'équation, et puis comme cos²(pi/10)=1/2(1+cos(pi/5), on trouve ce qu'on voulait.

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  10. #7
    Thorin

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message

    Comment l'as-tu trouvé et pourquoi ça marche ici? ^^
    J'ai mis la fonction de degré 4 de base sur le graphe de ma TI-84.

    j'ai vu que la courbe de cette fonction avait une droite de symétrie située en x=0.25
    Donc en décalant tout de 0.25, on se retrouve avec une fonction dont la droite de symétrie est l'axe des ordonnées, c'est a dire un fonction paire.
    Or si c'est une fonction paire, il ne peut pas y avoir de termes avec des puissances impaires de x.

    donc, il reste au final une équation de degré 4 (décaler ne change pas le degré total), avec que des puissances paires de x...c'est à dire une équation bicarrée, facile à résoudre.

    Voici le petit raisonnement auquel je me suis livré.

    Le seul truc, c'est que j'étais pas sur que la fonction était décalée de pile 0.25 par rapport à l'axe des ordonnées, vu que ma calculette ne donne que des arrondis.


    Avec dévotion et humanité,

    Thorin.

  11. #8
    bubulle_01

    Re : cos(pi/5)

    C'est toi qui t'es lancé ce défi de calculer ?
    Car, concours de circonstances, je l'ai fait exactement hier.
    Le mieux est de partir avec le sinus, qui à l'avantage de donner une équation sans constante. On peut alors simplifier par et retomber sur une équation bicarrée
    Ensuite, connaisant le sinus, on peut directement déduire le cosinus.

  12. #9
    pat7111

    Re : cos(pi/5)

    Il y a aussi un exo archi classique (je me souviens l'avoir vu dans les annales du bac) qui fait calculer en faisant remarquer que .

    On tombe tout simplement sur un bete trinome. (Et l'exercice conclut sur la construction d'un pentagone regulier). Un fois qu'on a , trouver est facile
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  13. #10
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par sohot Voir le message
    Sinon, on peut aussi poser têta=pi/10 (soit 5têta=pi/2) pour avoir un truc qui ressemble à:
    Acos(teta)^5 + Bcos(teta)^3 + Ccos(teta) = 0
    Puis tu factorises par cos(teta), on a une équation bicarrée, donc on pose
    X=cos²(pi/10)... on résout l'équation, et puis comme cos²(pi/10)=1/2(1+cos(pi/5), on trouve ce qu'on voulait.
    Plop, j'veux bien mais il faut connaître cos pi/10 alors ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  14. #11
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par pat7111 Voir le message
    Il y a aussi un exo archi classique (je me souviens l'avoir vu dans les annales du bac) qui fait calculer en faisant remarquer que .

    On tombe tout simplement sur un bete trinome. (Et l'exercice conclut sur la construction d'un pentagone regulier). Un fois qu'on a , trouver est facile

    Euh j'trouve du degré 4 moi
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  15. #12
    sohot

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Plop, j'veux bien mais il faut connaître cos pi/10 alors ^^
    Tu trouves cos²(pi/10) en résolvant l'équation, puis tu linéarises pour avoir cos(pi/5).

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  17. #13
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Ok sorry j'avais mal compris ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  18. #14
    pat7111

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par Universmaster
    Euh j'trouve du degré 4 moi
    (Serie geometrique)



    (regroupement des termes conjugues)





    On a bien un trinome en ... Non ?
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  19. #15
    Universmaster

    Re : cos(pi/5)

    Ouais ok bien vu ^^
    pas mal quand même pour un exo de bac ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  20. #16
    pat7111

    Re : cos(pi/5)

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Ouais ok bien vu ^^
    pas mal quand même pour un exo de bac ^^
    Ouais bof...
    Ce n'etait que le debut de l'exercice. Apres cela faisait retrouver le trace du pentagone en construisant la valeur .

    A l'epoque (1992, c'est pas la prehistoire non plus...) personne n'imaginait encore porter plainte s'il trouvait le sujet trop dur...

    Et puis, ce qui ne saute peut-etre pas aux yeux en terminale, c'est le debut (la somme nulle) apres si on te dit de simplifier pour n'avoir que du cos(2pi/5), le regroupement des termes conjugues, la petite transformation trigo pour se ramener de 4pi/5 a 2pi/5 et la resolution du trinome, ca parait assez naturel et pas sorcier...
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

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