DM de maths avec principe de récurrence

[invite3f13b8ec]

Bonjour a tous, j'ai un DM de maths a faire et dans une question je dois utiliser le principe de récurrence, ce que j'ai fait mais j'ai du faire une erreure de calcul quelque part parce que je ne trouve pas exactement ce que je devrais trouver. Si vous pouviez m'aider^^
je vous donne ce que j'ai deja fait:
Soit u la suite définis par u0= -1 et un+1= (2+un)/2
et le suite v définie par: vn=un-2
Exprimer vn en fonction de n et en déduire que un=-3*(1/2^n)+2.

Montrons par récurrence que un=-3*(1/2^n)+2 :
Pour n=0, u0=-1 et -3*(1/2^0)+2=-1.
La propriété est vraie au rang 0.

Supposons la propriété vraie à un certain rang n, c'est a dire, un=-3*(1/2^n)+2.
Montrons qu'elle est vrai au rang un+1

un+1= (2+un)/2= [2+(-3)*1/2^n +2]/2
= [4-3*1/2^n]/2
= 4/2+ [(-3)*1/2^n]/2
= 4/2 + (-3*1/2^n)*1/2
= 2+(-1.5*1/2^n+1)

donc voila et je ne vois pas comment faire autrement. Merci d'avance a ceux qui pourrais m'aider.
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[invite3df1c846]

Salut !!!

Je n'ai pas tellement suivi tout ton raisonnement mais dans l'énoncé ils disent bien qu'il faut trouver l'expression de Vn pour en déduire ensuite celle de Un.

J'imagine que c'est ce que tu avais vu et que c'est ce qui te tracassait d'ailleurs...

Bref, dans tous les cas pour trouver l'expression de Vn, je tiens à t'indiquer que c'est une suite bien connue du type géométrique ou arithmétique. Il te faut donc essayer de faire apparaître, à partir de l'expression de Vn et de Un, V(n+1) en fonction de Vn !!! Tu arriveras comme ça à une relation de suite arithmétique ou géométrique dont tu pourras tirer l'expression de Vn en fonction de n.

Petit indice, part de l'expression de Vn et passe au rang (n+1) toute l'expression. Ensuite tu remplaces et développes ce qu'il faut pour finir à te retrouver avec l'expression de Vn dans ta partie droite, que tu pourras justement remplacer par Vn...

Voilà, en espérant avoir été à peu près suivable

[invitee3b6517d]

Bonjour a tous, j'ai un DM de maths a faire et dans une question je dois utiliser le principe de récurrence, ce que j'ai fait mais j'ai du faire une erreure de calcul quelque part parce que je ne trouve pas exactement ce que je devrais trouver. Si vous pouviez m'aider^^
je vous donne ce que j'ai deja fait:
Soit u la suite définis par u0= -1 et un+1= (2+un)/2
et le suite v définie par: vn=un-2
Exprimer vn en fonction de n et en déduire que un=-3*(1/2^n)+2.

Montrons par récurrence que un=-3*(1/2^n)+2 :
Pour n=0, u0=-1 et -3*(1/2^0)+2=-1.
La propriété est vraie au rang 0.

Supposons la propriété vraie à un certain rang n, c'est a dire, un=-3*(1/2^n)+2.
Montrons qu'elle est vrai au rang un+1

un+1= (2+un)/2= [2+(-3)*1/2^n +2]/2
= [4-3*1/2^n]/2
= 4/2+ [(-3)*1/2^n]/2
= 4/2 + (-3*1/2^n)*1/2
= 2+(-1.5*1/2^n+1)

donc voila et je ne vois pas comment faire autrement. Merci d'avance a ceux qui pourrais m'aider.

Bonjour,

donc

[invite3f13b8ec]

Salut !!!

Je n'ai pas tellement suivi tout ton raisonnement mais dans l'énoncé ils disent bien qu'il faut trouver l'expression de Vn pour en déduire ensuite celle de Un.

J'imagine que c'est ce que tu avais vu et que c'est ce qui te tracassait d'ailleurs...

Bref, dans tous les cas pour trouver l'expression de Vn, je tiens à t'indiquer que c'est une suite bien connue du type géométrique ou arithmétique. Il te faut donc essayer de faire apparaître, à partir de l'expression de Vn et de Un, V(n+1) en fonction de Vn !!! Tu arriveras comme ça à une relation de suite arithmétique ou géométrique dont tu pourras tirer l'expression de Vn en fonction de n.

Petit indice, part de l'expression de Vn et passe au rang (n+1) toute l'expression. Ensuite tu remplaces et développes ce qu'il faut pour finir à te retrouver avec l'expression de Vn dans ta partie droite, que tu pourras justement remplacer par Vn...

Voilà, en espérant avoir été à peu près suivable

Et bien pour trouvé l'expréssion de vn qui est une suite géométrique en fonction de n j'ai fait vn=v0*q^n donc je trouve vn=-3*(1/2)^n donc après, j'ai essayé de prouver avec le principe de récurrence que un=-3*1/2^n+2 ( il n'y a que le deux de la fraction qui est a la puissance n )

[A voir en vidéo sur Futura]