DM de mathématiques concernant les fonctions
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DM de mathématiques concernant les fonctions



  1. #1
    invite54f15488

    DM de mathématiques concernant les fonctions


    ------

    Bonjour tout le monde !
    Je vous écris car, à peine la rentrée arrivée, ma prof de maths nous a donné un DM à faire pour le week end, et j'ai eu du mal sur certaines questions...
    J'espère que vous pourrez m'aider, et je vous remercie d'avance pour vos conseils, commentaires et/ou corrections.

    Exercice 5 :

    Représenter graphiquement la fonction h qui à tout réel x associe max(x^2 - x - 5 ; 3/x), où max (a, b) désigne le plus grand des deux nombres a et b.



    On veut représenter graphiquement la fonction h qui à tout réel x associe max(x^2 - x - 5 ; 3/x), où max(a, b) désigne le plus grand des deux nombres a et b.

    Soit f une fonction telle que f(x)= x^2 - x - 5 (Df = /R) et g une fonction telle que g(x)= 3/x (Dg= /R *)

    Pour pouvoir tracer h, on chercher pour quelles valeurs de x f(x)>g(x) et réciproquement.

    On étudie donc le signe de la différence f(x)-g(x).

    f(x)-g(x) = x^2 - x - 5 - 3/x

    [COURBES avec la représentation graphique de f(x), de g(x) et de h(x) en rouge]

    => J'ai un problème à cet endroit là, je n'arrive pas à simplifier l'expression, et pour trouver à quels moments f est au dessus de g il me faut qqchose de plus simple... Je bloque.



    Exercice 6 :

    1- Représenter la courbe d'une fonction f définie sur [ 0 ; 4 ] sachant que :

    -elle est croissante sur [ 0 ; 2 ],

    -elle est décroissante sur [ 2 ; 4 ]

    La fonction f admet-elle nécessairement un minimum ? un maximum ?



    2- Représenter la courbe d'une fonction définie sur [ 0 ; 4 ] sachant que :

    -elle est croissante sur [ 0 ; 2 [

    -elle est décroissante sur ] 2 ; 4 ]

    -elle n'admet pas de maximum sur [ 0 ; 4 ]



    1- Plusieurs fonctions différentes sont possibles. J'en choisis une parmi d'autres en vérifiant que les conditions soient respectées, c'est à dire l'intervalle sur lequel la fonction est définie : Df = [ 0 ; 4 ], et les valeurs de x pour lesquelles f est croissante (sur [ 0 ; 2 ]) et décroissante (sur [ 2 ; 4 ] ).

    [COURBE]

    La fonction f admet nécessairement un maximum en x = 2, puisque de croissante elle devient décroissante et que 2 est compris dans l'ensemble de définition.

    Elle n'admet par contre pas forcément un minimum, on voit par exemple (sur la courbe) que sur [ 0 ; 2 ] le minimum est 1 (pour x=0) et sur [ 2 ; 4 ] le minimum est 0 (pour x= 4).



    2- Contrairement à la fonction précédente, la valeur 2 n'est pas comprise dans l'ensemble de définition car Df = [ 0 ; 2 [ U ] 2 ; 4 ]. La courbe présente donc deux asymptotes et n'admet pas de maximum sur [ 0 ; 4 ]

    [COURBE]



    => J'ai des doutes sur la précision de ma rédaction...



    Exercice 7 :

    Soit P la courbe d'équation y = x^2 + 1 et Dk la droite d'équation y = kx (k appartient à /R).

    1 - Déterminer suivant les valeurs de k le nombre de points d'intersection de P et Dk.



    2 - Soit Q la fonction de /R dans /R qui à tout k associe le nombre de points d'intersection de P avec D. Représenter graphiquement la fonction Q.

    => J'ai énormément de mal pour celui-là, d'après ce que j'ai observé sur ma calculatrice, pour k < 2 il n'y a pas de points d'intersection entre P et Dk, et pour k > 2 il y en a au moins 1... Je suis perdue et je n'arrive pas du tout à tracer cette courbe.


    Merci encore.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : DM de mathématiques concernant les fonctions

    Salut,
    Citation Envoyé par klem69 Voir le message
    On étudie donc le signe de la différence f(x)-g(x).

    f(x)-g(x) = x^2 - x - 5 - 3/x

    => J'ai un problème à cet endroit là, je n'arrive pas à simplifier l'expression, et pour trouver à quels moments f est au dessus de g il me faut qqchose de plus simple... Je bloque.
    On met tous les termes au même dénominateur (il est souvent plus facile d'étudier le signe d'un quotient que d'étudier le signe d'une somme) :

    .

    Trouver le signe du dénominateur n'est pas compliqué. Pour le numérateur, recherche une racine évidente (-1, 0, 1...) puis factorise-le. L'étude de signe ne devrait ensuite pas poser de problème.

    Exercice 6 :

    1- Représenter la courbe d'une fonction f définie sur [ 0 ; 4 ] sachant que :

    -elle est croissante sur [ 0 ; 2 ],

    -elle est décroissante sur [ 2 ; 4 ]

    La fonction f admet-elle nécessairement un minimum ? un maximum ?

    1- Plusieurs fonctions différentes sont possibles. J'en choisis une parmi d'autres en vérifiant que les conditions soient respectées, c'est à dire l'intervalle sur lequel la fonction est définie : Df = [ 0 ; 4 ], et les valeurs de x pour lesquelles f est croissante (sur [ 0 ; 2 ]) et décroissante (sur [ 2 ; 4 ] ).

    [COURBE]

    La fonction f admet nécessairement un maximum en x = 2, puisque de croissante elle devient décroissante et que 2 est compris dans l'ensemble de définition.
    La raison est plutôt que 2 est à la fois dans un intervalle où est croissante et dans un intervalle où est décroissante.
    Elle n'admet par contre pas forcément un minimum, on voit par exemple (sur la courbe) que sur [ 0 ; 2 ] le minimum est 1 (pour x=0) et sur [ 2 ; 4 ] le minimum est 0 (pour x= 4).
    Si ta fonction atteint 0 elle ne peut pas admettre 1 comme minimum (peu importe que 1 soit atteint dans [0,2] et que 0 soit atteint dans [2,4]).
    2- Représenter la courbe d'une fonction définie sur [ 0 ; 4 ] sachant que :

    -elle est croissante sur [ 0 ; 2 [

    -elle est décroissante sur ] 2 ; 4 ]

    -elle n'admet pas de maximum sur [ 0 ; 4 ]

    2- Contrairement à la fonction précédente, la valeur 2 n'est pas comprise dans l'ensemble de définition car Df = [ 0 ; 2 [ U ] 2 ; 4 ].
    Si, si, 2 appartient à l'ensemble de définition : "Représenter la courbe d'une fonction définie sur [ 0 ; 4 ]"

    La courbe présente donc deux asymptotes et n'admet pas de maximum sur [ 0 ; 4 ]
    Une fonction peut très bien ne pas être définie en un point sans avoir une courbe qui admette une asymptote verticale en ce point. Fais tracer à ta calculatrice la courbe de la fonction pour t'en convaincre (cette fonction n'est pas définie en 0 et la courbe n'a aucune asymptote verticale).

    Exercice 7 :

    Soit P la courbe d'équation y = x^2 + 1 et Dk la droite d'équation y = kx (k appartient à /R).

    1 - Déterminer suivant les valeurs de k le nombre de points d'intersection de P et Dk.


    => J'ai énormément de mal pour celui-là, d'après ce que j'ai observé sur ma calculatrice, pour k < 2 il n'y a pas de points d'intersection entre P et Dk, et pour k > 2 il y en a au moins 1...
    On te demande simplement de trouver le nombre de solutions de qui peut aussi s'écrire . Tu connais ce type d'équation, non ?

    2 - Soit Q la fonction de /R dans /R qui à tout k associe le nombre de points d'intersection de P avec D. Représenter graphiquement la fonction Q.

    Je suis perdue et je n'arrive pas du tout à tracer cette courbe.
    Pour ça il faut faire la première question.

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