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Démonstration pour en déduire la limite d'une suite.



  1. #1
    Otsaku

    Démonstration pour en déduire la limite d'une suite.


    ------

    Bonjour à tous.
    J'ai : un = (4n)/(n5). Après avoir exprimé un+1 / un où je trouve (4n5) / (n+1)5 et admis que n0 = 5, j'ai prouvé que un+1 > (3/2)un. Je dois à présent démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, un > (3/2)n-5u5. Comment dois-je procéder ?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Chimerade

    Re : Démonstration pour en déduire la limite d'une suite.

    Citation Envoyé par Otsaku Voir le message
    Bonjour à tous.
    J'ai : un = (4n)/(n5). Après avoir exprimé un+1 / un où je trouve (4n5) / (n+1)5 et admis que n0 = 5, j'ai prouvé que un+1 > (3/2)un. Je dois à présent démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, un > (3/2)n-5u5. Comment dois-je procéder ?
    Merci d'avance.

    Ben, si quel que soit n, alors :
    non ?
    Et

    non ?
    Et

    non ?

  3. #3
    Otsaku

    Re : Démonstration pour en déduire la limite d'une suite.

    Je te remercie Chimerade pour ton aide. Simplement, j'ai encore deux questions à te poser ; premièrement, j'ai compris ta démarche mais démontre-t-elle bien ce qui est demandé ? car tu as utilisé u6, u7 etc... et ce n'est pas dans le cas général... et deuxièmement, je dois en déduire la limite de la suite... Et là, je suis perdue : en quoi la question précédente nous aide-t-elle à déduire ceci ?
    Merci d'avance.

  4. #4
    Chimerade

    Re : Démonstration pour en déduire la limite d'une suite.

    Citation Envoyé par Otsaku Voir le message
    j'ai compris ta démarche mais démontre-t-elle bien ce qui est demandé ? car tu as utilisé u6, u7 etc... et ce n'est pas dans le cas général...
    Non ! Je ne prétend pas que ce soit une démonstration. C'est une indication pour que TU puisses trouver une démonstration !

    La démonstration que tu devais trouver est celle-ci :

    Initialisation de la récurrence :
    Trivial !
    Soit P la propriété pour un entier k :
    Je constate que 5 a bien cette propriété puisque
    Supposons alors que l'entier n ait cette propriété ; on a alors

    Voyons ce qu'il en est pour l'entier n+1. On sait que :
    (tu l'as démontré !)
    Du fait que on déduit alors :



    et a fortiori :

    Donc n+1 a également la propriété P. Ainsi, le fait que n ait la propriété P implique que n+1 aussi. Comme 5 a cette propriété, tous les n supérieurs ou égaux à 5 ont cette propriété ce qui achève le raisonnement par récurrence.

    Tu noteras que ce que l'on te demande de démontrer est faux :

    démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, . Ceci est faux car pour n=5, cela donne ce qui n'est pas vrai !
    Donc tu peux conclure :
    soit : Pour tout n supérieur ou égal à 5,
    soit : Pour tout n supérieur à 5,
    Citation Envoyé par Otsaku Voir le message
    en quoi la question précédente nous aide-t-elle à déduire ceci ?
    Je suppose que tu as eu un cours sur les suites géométriques ! Quelle est la limite de lorsque ?

  5. A voir en vidéo sur Futura

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