Terminale S exponentielle

[invite4cef3816]

Bonjour, j'ai du mal à résoudre un exercice, le voici:
f est une fonction dérivable sur R telle que f '= kf et f(0) = c où k et c sont des réels avec c différent de 0. On note g la fonction définie par g = (1/c)f
a) Vérifier que g' = kg et g(0) = 1
b) En déduire que pour tout réel x, f(x) = c.exp(kx)

Je ne sais pas par où commencer. Pouvez-vous m'aider? Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Je ne sais pas par où commencer. Pouvez-vous m'aider?

Pour la question a), il suffit d'écrire g'=(1/c)f ', puis d'insérer l'expression de f ', et retourner à l'expression de g.

[invite4cef3816]

pour l'instant cela me donne g' = (1/c).kf que faut-il faire?

[Seirios]

Et ne peux-tu pas isoler (1/c)f dans ton expression ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4cef3816]

ah suis-je bête je n'avais même pas remarqué merci et pour g(0) = 1 je dois faire quoi?

[Seirios]

Tu passes par l'expression de g en fonction de f : g(0)=(1/c)f(0)

[invite4cef3816]

g(0) = 1/c x f(0)
= 1/c x c
= 1

c'est ca?

[invite4cef3816]

et dernière question je déduis comment?

[invite4cef3816]

?? personne pour m'aider?

[Seirios]

g(0) = 1/c x f(0)
= 1/c x c
= 1

c'est ca?

C'est bien cela.

et dernière question je déduis comment?

Je ne sais pas exactement ce qu'on demande à un Terminale, mais tu peux remarquer qu'il s'agit d'une caractéristique de la fonction exponentiel (en dérivant, tu obtiens la fonction à un facteur multiplicatif près), ou bien tu peux détailler :

, soit en intégrant :

.

[invite4cef3816]

oui j'ai réussi a résoudre la question b en disant que g(x) = exp(kx) et donc que f(x) = c*exp(kx) car g(x)=(1/c)*f(x)

Merci beaucoup